数列极限的求法

对于数列极限的求法，我们通常是先猜测，然后用定义去证明猜测出的值确实是数列的极限.

对于数列

$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$$

通项

$${x_n} = \frac{1}{n}$$

$n$趋于无穷大时，通项看起来趋于0，因此假设该数列的极限为$a = 0$，下面证明：

$$|{x_n} - a| = |\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n}$$

为了使$|x_n-a|$小于任意给定的正数$ε$，只需要

$$\frac{1}{n} < \varepsilon $$

即

$$\frac{1}{\varepsilon } < n$$

所以，$\forall \varepsilon > 0$,取$N = [\frac{1}{\varepsilon }]$,则当$n>N$时，就有

$$|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon $$

即

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0.$$

上面使用了取整函数$$y = \left[ {{1 \over x}} \right]$$ 这是因为${1 \over \varepsilon }$可能是小数，比如$\varepsilon = 0.11$时，${1 \over \varepsilon } = 9.09$，但是$N$是自然数，所以取$$N = \left[ {{1 \over {0.11}}} \right]{\rm{ = }}\left[ {{{100} \over {11}}} \right]{\rm{ = }}\left[ {9.09} \right]{\rm{ = }} 9$$ ，所以当$n > N = 9$时$n$的最小值为10，显然有$$ n > \frac{1}{\varepsilon} = 9.09$$成立.

那么$a = 0.001$是不是数列上面数列的极限呢？假如是，则根据极限的定义，极限的通项与0.001的距离必须是要多么小有多么小，即

$$ \eqalign{ & \left| {{1 \over n} - 0.001} \right| = \left| {{1 \over n} - {1 \over {1000}}} \right| \cr & = \left| {{{1000 - n} \over {1000n}}} \right| < \left| {1000 - n} \right| \cr & = \left| {n - 1000} \right| < \varepsilon \cr & \Rightarrow 1000 - \varepsilon < n < 1000 + \varepsilon \cr} $$

成立，由于$n$是正整数，任意取一个$\varepsilon = 0.1$，显然此式不成立，所以$a = 0.001$不是数列的极限.

一般地，微积分教材上的例子通常是给出数列的极限，然后证明.例如

已知${x_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}$,证明数列$\{ {x_n}\} $的极限是0.

证   $|{x_n} - a| = |\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} - 0| = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < \frac{1}{{n + 1}}$

$\forall \varepsilon > 0,$只要$\frac{1}{{n + 1}} < \varepsilon $即$n > \frac{1}{\varepsilon } - 1$

不等式$|{x_n} - a| < \varepsilon $就成立，所以取$N = [\frac{1}{\varepsilon } - 1]$(这里用到了取整函数的概念)，则当$n>N$时就有

$$\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} - 0| < \varepsilon ，即\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} = 0$$

若任意给定的$ε$取0.01，此时$N = [\frac{1}{\varepsilon } - 1] = [99] = 99.$

注意，证明也可以写为：

证   $|{x_n} - a| = |\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} - 0| = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < ε$

$\forall \varepsilon > 0$，只要

$$\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < \varepsilon ,即n > \frac{1}{{\sqrt \varepsilon }} - 1$$

若任意给定的$ε$取0.01，此时$N = [\frac{1}{{\sqrt \varepsilon }} - 1] = [9] = 9$

没有必要去求最小的$N$，例如9.这是因为我们在整个证明中并不关心$N$的数值，只关心它存在与否.用计算式$|{x_n} - a| = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < \frac{1}{{n + 1}} < \varepsilon $计算$n$和用$\frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < \varepsilon $计算$n$,区别只在于前面的式子计算比较方便.

第一种求出来的$n$如果是100，那么第二种求出来的$n$小于100；$N$越大，$x_n$与它的极限越接近（$ε$越小，$x_n$与$a$越接近，此时求出来的$N$也越大），更能体现常数$a$是数列$\{ {x_n}\} $的极限$（n→∞）$，且第一种计算更方便.

讨论：

数列极限定义中为什么不是$“|x_n-a|≤ε”$，而是$“|x_n-a|<ε”$？

从概念上看，如果数列$\{ {x_n}\} $的极限为$a$，那么$x_n$与$a$可以无限接近，要多接近有多接近；两者的接近程度可以用这两个数在数轴上的点之间的距离来表示，那么，无论（你给出的距离$ε$有多小）所给定的距离$ε$有多小，当$n→∞$时，$x_n$与$a$的距离都可以比$ε$“还要小”；在概念上，这里的“还要小”就决定了$|x_n-a|$与$ε$之间是小于号.