函数的连续性

我们在前面学习极限相关的知识时，注意到函数极限的定义、性质和运算法则中都明确规定$0<|x-x_0 |<δ$（$x_0$的去心邻域）或$|x|>X$，这是因为通常情况下我们之所以求自变量趋于某一点或无穷大时的函数极限，是因为函数在该点没有定义（或$x$无法取无穷大），而我们又需要函数在该点的值.假如函数在某一点有定义，能够取值，那么自变量趋于该点时函数的极限与函数在该点的函数值有什么关系呢？

首先引入函数增量的概念，然后用增量来描述连续性，并引出函数连续性的定义.

设变量$u$从它的一个初值$u_1$变到终值$u_2$，终值与初值的差$u_2-u_1$叫做变量$u$的增量，记作$\Delta u$，即$$\Delta u = {u_2} - {u_1}$$

增量可正，可负，也可以为0.

在这里，我们将讨论，如果函数在某一点$x_0$的某一邻域内 （包括$x_0$点） 有定义，那么在自变量趋于 （不特别说明的情况下，指任意趋近) 该点时，函数的极限与该点的函数值之间的关系，我们有如下定义.

定义 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$$

那么就称函数$f(x)$在点$x_0$连续.

该定义表明，如果自变量趋于某一点时，函数的极限等于函数在该点的函数值，则称函数在该点是连续的.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$$

表明：

1.函数在$x_0$点的极限存在.假设极限为$L$，则$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,$用$"ε-δ"$语言描述为$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,当0<|x - {x_0}| < \delta 时,有|f(x) - L| < \varepsilon .$

2.函数在$x_0$有定义.

3.函数在$x_0$点的极限等于函数在该点的函数值，即$L=f(x_0).$

我们使用函数极限的定义来描述函数的连续性，即

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$$

用$"ε-δ"$语言描述函数连续性时（也就是用$"ε-δ"$语言描述上述极限），是

$$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,当0<|x - {x_0}| < \delta 时,有|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon .$$

上面我们使用函数极限的定义来描述函数的连续性，同时使用$"ε-δ"$语言描述了函数的极限.另外，我们还可以直接使用$"ε-δ"$语言描述函数的连续性.

函数$f(x)$在$x=x_0$ 连续$ \Leftrightarrow ε>0$，$\exists \delta > 0$，当$|x-x_0 |<δ$时，有$|f(x)-f(x_0 )|<ε$

这里需要明白四点：

1. 上述$"ε-δ"$语言不是描述极限定义的.

2. 函数的连续性可以用$"ε-δ"$语言来描述.

3. 函数的连续性也可以用极限的定义来描述($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$)

4. $"ε-δ"$语言可以描述函数的极限，也可以描述函数的连续性.

由函数极限与无穷小量之间的关系:在自变量的同一变化过程$x→x_0$ (或$x→∞$) 中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+α$，其中$α$是无穷小.

当函数$f(x)$在点$x_0$连续时，

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$$

$f(x)=f(x_0 )+α$，则$f(x)-f(x_0 )=α.$

设$\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f(x) - f({x_0}) = \alpha ,$则$x→x_0 $时，$\Delta x \to 0,\Delta y \to 0,$即

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0.$$

或

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [f(x) - f({x_0})] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0.$$

上述为函数在点连续$x_0$连续的另一种叙述方式，即：

定义 设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，如果

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})] = 0,$$

那么就称函数$y=f(x)$在点$x_0$连续.

从图像上看，连续函数的图像为一条单一的不断的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡.

相对于左极限和右极限，我们有左连续和右连续的概念.

如果$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0}^ - )$存在且等于$f(x_0)$，即

$$f(x_0^-)=f(x_0)$$

就说函数$f(x)$在点$x_0$左连续.

如果$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = f({x_0}^ + )$存在且等于$f(x_0)$，即

$$f(x_0^+)=f(x_0)$$

就说函数$f(x)$在点$x_0$右连续.

在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.

求解并证明有理函数 (多项式)$f(x)$在$x_0$点的极限时，运用极限运算法则，有$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$$

，因此有理函数在区间$(-∞,+∞)$内是连续的.对于有理分数函数

$$F(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}},$$

只要$Q(x_0)≠0$，就有

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} F(x) = F({x_0})$$

我们知道，有理分数函数的定义域就已经规定了$Q(x)≠0$，因此有理分数函数在其定义域内的每一点都是连续的.

 

例 证明当$x>0$时，$\sqrt x $是连续函数.

证明:只需要证明$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt x = \sqrt {{x_0}} $$设$x_0>0$，$\forall \varepsilon > 0,$因为

$$|f(x) - A| = |\sqrt x - \sqrt {{x_0}} | = \frac{{x - {x_0}}}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} < \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} }}|x - {x_0}|,$$

要使$|f(x) - A| < \varepsilon ,$只要$|x - {x_0}| < \sqrt {{x_0}} \varepsilon$即可,但是只这样还不行，因为在$x \to {x_0}$的过程中，所有的$x$都要使$\sqrt x$有意义才行，而我们还只规定了$x_0$大于0，如果$\varepsilon =2 \sqrt x_0$,或者等于$4x_0$,则$|x - {x_0}| < \sqrt {{x_0}} \varepsilon $会使得$x<0$，因此，为了保证$x≥0$(被开方数不能是负数)，还需要另外的条件，这个条件可以用$|x-x_0 |≤x_0$保证，因此取$\delta = \min \{ {x_0},\sqrt {{x_0}} \varepsilon \} ,$则当$0 < |x - {x_0}| < \delta $时，$|f(x) - A| = |\sqrt x - \sqrt {{x_0}} | < \varepsilon ,$所以

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt x = \sqrt {{x_0}} $$

即x>0时，$\sqrt x $是连续函数.

 

例 证明函数$y = \sin x$在区间$(-∞,+∞)$内是连续的.

证明:设$x$是区间$(-∞,+∞)$内任意取定的一点.当$x$有增量$\Delta x$时，对应的函数的增量为

$$\Delta y = \sin (x + \Delta x) - \sin x$$

由三角函数公式有

$$\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,$$ $$\sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta ,$$

$$\sin (\alpha + \beta ) - \sin (\alpha - \beta ) = 2\cos \alpha \sin \beta ,$$

设$\alpha + \beta = x + \Delta x,\alpha - \beta = x,$则

$$\alpha = x + \frac{{\Delta x}}{2},\beta = \frac{{\Delta x}}{2},$$ $$\Delta y = \sin (x + \Delta x) - \sin x = 2\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})\sin \frac{{\Delta x}}{2},$$

此处需要证明，当$x≠0$时，$|\sin x| < |x|,$

证明:当$x \in {\bf{R}}$时，$|\sin x| \leqslant 1,当|x| > 1时,$$|\sin x| <|x|;$当$|x| = 1$时，$\sin x \approx 0.8 < 1 = |x|;$当$0 < |x| < 1$时，由$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x}$的证明过程可知$|\sin x| < |x|,$这就证明了$x≠0$时，$|\sin x| < |x|.$

注意到$|\cos (x + \frac{{\Delta x}}{2})| \leqslant 1,$则

$$0 \leqslant |\Delta y| = |\sin (x + \Delta x) - \sin x| \leqslant 2|\sin \frac{{\Delta x}}{2}| < |\Delta x|$$

当$x→x_0$时，由于夹逼准则得$|\Delta y| \to 0,$这就证明了$y = \sin x$对于任一$x \in ( - \infty , + \infty )$是连续的.