前面是已知函数极限的情况下，用极限的定义来证明该极限确实是函数的极限.接下来建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并利用这些法则来求某些函数的极限.求函数极限的其他方法将在以后介绍.

定理1 有限个无穷小的和也是无穷小

证明:考虑两个无穷小的和.

设$α$及$β$是当$x→x_0$时的两个无穷小，而

$$γ=α+β$$

$\forall \varepsilon > 0,$对于$\frac{\varepsilon }{2} > 0,\exists {\delta _1} > 0,$当$0<|x-x_0 |<δ_1$时，不等式

$$|\alpha | < \frac{\varepsilon }{2}$$

成立.

同理，对于$\frac{\varepsilon }{2} > 0,\exists {\delta _2} > 0,$当$0<|x-x_0 |<δ_2$时，不等式

$$|\beta | < \frac{\varepsilon }{2}$$

成立.

取$\delta = \min \{ {\delta _1},{\delta _2}\} ,$则当$0<|x-x_0 |<δ$时，

$$|\alpha | < \frac{\varepsilon }{2}和|\beta | < \frac{\varepsilon }{2}$$

同时成立，从而$|\gamma | = |\alpha + \beta | \leqslant |\alpha | + |\beta | < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon ，$这就证明了$γ$是当 $x→x_0 $时的无穷小.

注意：这里的有限个无穷小是在自变量的同一变化过程$x→x_0$或$x→∞$时的无穷小.

对于无穷小个数大于2个的情况，无论有奇数个还是偶数个，都可以归结为上述2个无穷小相加的证明.

定理1’无限个无穷小的和不一定是无穷小

比如，$n$个$\frac{1}{n}$之和等于$n×$$\frac{1}{n}$=1当$n→∞$时等于1.

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

证明:设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域$\mathop U\limits^0 \left( {x_0,δ_1 } \right)$内是有界的，即存在 $M>0$使$|f(x)|≤M$对一切$x∈\mathop U\limits^0 \left( {x_0,δ_1 } \right)$成立.

又设$α$是当$x→x_0$时的无穷小，即$\forall \varepsilon > 0,\exists {\delta _2} > 0,$当$0<|x-x_0 |<δ_2$时，有

$$|\alpha | < \frac{\varepsilon }{M}$$

取$\delta = \min \{ {\delta _1},{\delta _2}\} ,$则当$0<|x-x_0 |<δ$时，

$$|f(x)| \leqslant M,和|\alpha | < \frac{1}{M}$$

同时成立.从而

$$|f(x) \cdot \alpha | = |f(x)||\alpha | < M \cdot \frac{\varepsilon }{M} = \varepsilon .$$

这就证明了$f(x)α$是当$x→x_0$时的无穷小.

$x→∞$时的情况也可以同样证明，因此定理2成立.

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.

分析：将常数看作与无穷小具有相同定义域的函数，则该函数为有界函数，则根据定理2可得推论1.

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

分析：无穷小是当$x→x_0 $(或$x→∞$)时极限为0的函数.根据函数极限的性质：

定理2(有极限的函数的局部有界性) 如果$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$,那么存在常数$M>0$和$δ>0$，使得$0<|x-x_0 |<δ$ 时，有$|f(x)|≤M.$

则有限个无穷小的乘积可分解为"成对的有界函数与无穷小的乘积"的乘积，无论无穷小的个数为偶数还是奇数，最终得到一个有界函数与无穷小的乘积.根据

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

就证明了有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理3 如果有${\bf{lim}}f(x)=A,{\bf{lim}}g(x)=B$，那么

(1)$\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B;$

(2)$\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B;$

(3)若又有$B≠0$，则

$$\lim \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\lim f(x)}}{{\lim g(x)}} = \frac{A}{B}.$$

证明 1

因为$\lim f(x) = A,\lim g(x) = B,$，由函数极限与无穷小的关系(定理 1)

定理1 在自变量的同一变化过程$x→x_0$ (或$x→∞$)中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+α$，其中$α$是无穷小.

有$f(x)=A+α,g(x)=B+β$， 其中$α，β$为无穷小.于是

$$f(x)±g(x)=(A+α)±(B+β)=(A±B)+(α±β)$$

$-β=-1×β $(-1看作与$β$具有同一自变量变化过程的函数，则$-1×β$为有界函数与无穷小的乘积)

根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小

$-β=-1×β$是无穷小

根据有限个无穷小的和也是无穷小

$α±β$是无穷小

$$\lim [f(x) \pm g(x)] = (A \pm B) + \lim [\ (\alpha \pm \beta )] = A \pm B = \lim f(x) + \lim g(x)$$

证明2 因为$\lim f(x) = A,\lim g(x) = B,$，

由函数极限与无穷小的关系

$$f(x)=A+α,g(x)=B+β$$ $$f(x) \cdot g(x)=(A+α)(B+β)=AB+Aβ+Bα+αβ.$$

根据推论1常数与无穷小的乘积是无穷小

$Aβ,Bα$都是无穷小

根据推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小

$α，β$是无穷小

根据定理1有限个无穷小的和也是无穷小

$Aβ+Bα+αβ$是无穷小

$$\lim [f(x) \cdot g(x)] = AB = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$$