收敛数列的性质

如果一个数列的极限存在，就说这个数列是收敛的，这个数列叫做收敛数列.数列收敛，是指数列的通项$x_n$在$n→∞$时趋于（趋近并等于）某一个实数$a$，即

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a$$

定理1（极限的唯一性） 如果数列$\{ {x_n}\}$收敛，那么它的极限唯一.

证明： 用反证法.假设收敛数列的极限不唯一，同时有$x_n→a$及$x_n→b$，且$a < b$（$a,b$是实数且不相等，必有大小关系）.取$\varepsilon = \frac{{b - a}}{2}$.因为

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a$$

，故存在正整数$N_1$，当$n>N_1$时，不等式

$$\begin{equation}|{x_n} - a| < \frac{{b - a}}{2}\end{equation}$$

都成立.同理，因为

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = b$$

，故存在正整数$N_2$，当$n>N_2$时，不等式

$$\begin{equation}|{x_n} - b| < \frac{{b - a}}{2}\end{equation}$$

都成立.取$N=\text{max}\{ {N_1 ,N_2 }\}$，则当$n>N$时，（1）式及（2）式会同时成立.由（1）式得

$$|{x_n} - a| < \frac{{b - a}}{2} \Leftrightarrow - \frac{{b - a}}{2} < {x_n} - a < \frac{{b - a}}{2}$$ $$\Leftrightarrow - \frac{{b - a}}{2} + \frac{{2a}}{2} < {x_n} < \frac{{b - a}}{2} + \frac{{2a}}{2}$$ $$\Leftrightarrow \frac{{3a - b}}{2} < {x_n} < \frac{{a + b}}{2}$$

同理由（2）式得

$$\frac{{a + b}}{2} < {x_n} < \frac{{3a - b}}{2}$$

这是不可能的，所以收敛数列的极限唯一.

无限的概念分为可数无限和不可数无限，因此，无限集分为可数无限集(countable infinite set)和不可数无限集(uncountable infinite set).

可数无限集可以用集合的列举法简记为： $$\{{a_1,a_2,a_3,…,a_n,...}\}$$ 用省略号表示元素.自然数集${\bf{N}}$和整数集${\bf{Z}}$都是可数无限数集.任意长度的区间$(a,b)$是不可数无限数集，因为区间内的元素有无限多个，没办法一一数出来.

数列的有界性概念

数列的有界性表示数列中元素的取值有一定的范围.

对于数列$\{ {x_n}\}$，如果存在正数$M$，使得对于一切$x_n$都满足不等式

$$|x_n-0|=|x_n |≤M$$

则称数列$\{ {x_n}\}$是有界的；如果这样的正数不存在，就说数列$\{ {x_n}\}$是无界的.

注意：我们把n从小到大依次标在$x$轴上，$y$轴表示$x_n$，则$|x_n-0|$表示$x_n$到$x$轴的距离.

$$|{x_n} - 0| = |{x_n}| \leqslant M \Leftrightarrow - M \leqslant {x_n} \leqslant M \Leftrightarrow {x_n} \in [ - M,M]$$

定理2 (收敛数列的有界性) 如果数列$\{ {x_n}\}$收敛，那么数列$\{ {x_n}\}$一定有界.

证明：因为数列$\{ {x_n}\}$收敛，设

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a$$

根据数列极限的定义，对于$ε=1$，存在正整数$N$，当$n>N$时，不等式

$$|x_n-a|<1$$

都成立.于是，当$n>N$时，

$$|x_n |=|(x_n-a)+a|≤|x_n-a|+|a|<1+|a|$$

取$M=\text{max}\{ {|x_1 |,|x_2 |,…,|x_N |,1+|a|}\}$，那么数列$\{ {x_n}\}$中的一切$x_n$都满足不等式

$$|x_n |≤M$$

这就证明了数列$\{ {x_n}\}$是有界的.

补充内容

证明绝对值不等式：$|a+b|≤|a|+|b|$

证明：当$ab≥0$时，

$$\eqalign{ & ab = \left| {ab} \right|,\left| {a + b} \right| = \sqrt {{(a + b)^2}} \cr & = \sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} \cr}$$

$$\eqalign{ & = \sqrt {|a{|^2} + 2|a||b| + |b{|^2}} \cr & = \sqrt {{{(|a| + |b|)}^2}} = |a| + |b| \cr}$$

当$ab<0$时，

$|ab|=-ab,|a+b|=$

$$\eqalign{ & \sqrt {{{(a + b)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} \cr & = \sqrt {|a{|^2} - 2|a||b| + |b{|^2}} < \sqrt {|a{|^2} + 2|a||b| + |b{|^2}} = \sqrt {{{(|a| + |b|)}^2}} = |a| + |b| \cr}$$

$∴|a+b|≤|a|+|b|$