映射(map)的概念

如果说映射是动物，那么函数，变换，泛函就是人，马，牛.也就是说，映射是总的概念，在映射的基础上加某些条件便可以得出其它概念.对于二维的情形，从映射的字面意思来看，可以认为映射是$x$轴下方平行于$y$轴向上射出的光线将$x$轴上的数一个一个地照射到一条曲线上，该曲线上与每一个箭头对应的点都能够在$y$轴上找到唯一的一个对应点..

例如，对于关系式$y=2x+1$,$x$可以取实数集${\text{R}}$中的任意元素，其定义域为${\text{R}}$，对于${\text{R}}$中的每一个数${x_i},i=1,2,3,...$，通过关系式$2x+1$可得一个${y_i}$,所有的${y_i}$组成一个集合，记为$R_f$.

定义

设$X,Y$是两个非空集合，若存在一个法则$f$，使得对$X$中每个元素$x$，按法则$f$，在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应，则称法则$f$(function)为从$X$到$Y$的映射，记作

$$f:X \to Y,$$

$y：$元素$x$在映射$f$下的像，并记作$f(x)$，即

$$y=f(x)$$

$x：$元素$y$在映射$f$下的一个原像.

$X：$映射$f$的定义域，记作$D_f $(definition)，即$D_f=X$.

$X$中所有元素的像组成的集合称为映射$f$的值域，记作$R_f $ (range)或$f(X)$，即

$${R_f} = f(X) = \{ f(x)|x \in X\} ,$$

$Y：$值域的范围，即$R_f \subset Y.$

我们经常遇到的$x^2,\text{sin}x,3x+5$等都是法则.$X,Y$都不能为空集，假如$X$是空集，对任何法则$f$，$Y$也是空集，显然就不存在映射.

映射是：一对一或多对一

注意区分两个概念：值域的范围，值域.

根据映射的定义，映射（或函数）的定义域$D_f=X$是非空的，值域也是非空的.这是因为，即便定义域中只有一个元素，根据映射的定义，“按法则$f$，在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应”，首先$Y$中要有元素，其次元素是唯一的.所以$Y$中必有1个元素，这个元素是值域的元素，所以值域不是空集.因此，函数的定义域和值域都不能为空集.

满射：设$f$是从集合$X$到集合$Y$的映射，若$R_f=Y$，即$Y$中任一元素都是$X$中某元素的像，则称$f$为$X$到$Y$上的映射或满射.

所以值域的范围的概念是为了定义满射而给出的.

上面满射的定义中，使用的条件是$R_f=Y$，集合相等的概念.

单射：若对$X$中的任意两个不同元素$x_1≠x_2$，它们的像$f(x_1 ) \ne f(x_2 )$，则称$f$为$X$到$Y$的单射.

一 一映射：若映射$f$既是单射，又是满射，则称$f$为一 一映射（或双射）.注意：映射是指对应法则$f$，只要对应法则$f$满足一对一或多对一，那么$f$就成为映射.满射的概念是为了定义一一映射和(间断点而给出的)(暂时不考虑，后面遇到再强调).

映射又称为算子.

从实数集（或其子集）$X$到实数集$Y$的映射通常称为定义在$X$上的函数.

从非空集$X$到数集$Y$的映射又称为泛函.

从非空集$X$到它自身的映射又称为$X$上的变换.

设$f:{\text{R}}→{\text{R}}$，对每个$x∈{\text{R}}，f(x)=x^2$. 显然$f$是一个映射，$f$的定义域$D_f={\text{R}}$，值域${R_f} = \{ y|y \geqslant 0\} $，它是${\text{R}}$的一个真子集.从$D_f→{\text{R}}_f $是满射；从$D_f→{\text{R}}$不是满射.

映射的概念主要是作为函数的基础知识给出的.我们在给出函数时，通常只给出对应法则$f$和定义域$D_f$.由对应法则和定义域所确定的数集就是值域$R_f$，因此，通常情况下不提及“值域的范围”这个概念.所以函数作为一种映射，是从定义域到值域的满射.

后面学完基本初等函数及其性质后，大家可以用具体的函数例子与映射、满射、单射及一一映射的定义对应起来看，加深对这些概念的理解，明白微积分学中给出这些概念的目的和意义.

逆映射(inverse mapping)

从字面意思上看，逆映射就是一个映射反过来之后所成的映射，例如映射$f:X→Y$为$y=f(x)=x+1$，反过来就是$g:Y→X$为$x=y-1$.映射是一对一或多对一，一对一反过来依然是一对一，而多对一变为一对多，一对多显然不满足映射的定义，因此多对一的映射反过来后就不再是映射.因此并不是所有映射都有逆映射.

定义

设$f$是$X$到$Y$的单射，则由定义，对每个$y∈R_f$，有唯一的$x∈X$适合$f(x)=y$.于是，我们可定义一个从$R_f$到$X$的新映射$g$，即

$$g:R_f→X，$$

对每个$y∈R_f$，规定$g(y)=x$，这$x$满足$f(x)=y$. 这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作${f^{ - 1}}$.

定义域：$D_{f^{-1} }=R_f$，值域：$R_{f^{-1} }=X$.

注意：这里逆映射存在的条件是：

1)$X$到$Y$是单射：一对一；

2)从值域$R_f$到$X$（不是从值域的范围$Y$到$X$）.

单射$f$存在逆映射:

$$\forall f:X \to Y\left[ {{x_1} \ne {x_2},f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right)} \right],\exists {f^{ - 1}}:{R_f} \to X$$

一一映射$f$存在逆映射：

$$\forall f:X \to Y[{x_1} \ne {x_2},f\left( {{x_1}} \right) \ne f\left( {{x_2}} \right),{R_f} = Y],\exists {f^{ - 1}}:Y \to X$$

单射的逆映射是从值域到定义域，一一映射的逆映射是从值域的范围到定义域，这里用到了值域和值域的范围两个概念.

符号"$\forall $"表示“任意的，任意一个”；“$\exists $”表示“存在”，实际上，“$\forall $”来源于英文单词“Any”.数学中若用第一字母A表示“Any”（任意），则容易与其它字母相混淆，于是数学家将A旋转了180度，创造出了“$\forall $”来；同理“$\exists $”（存在） ——将英文单词“exit”的第一个字母E进行镜面反射便得到了“$\exists $”符号.

复合映射

设有两个映射

$g:X \to {Y_1},f:{Y_2} \to Z\left( {{Y_1} \subset {Y_2}} \right)$

存在${f^o}g:X \to Z$，即$\left( {{f^o}g} \right)\left( x \right) = f\left[ {g\left( x \right)} \right],x \in X$

那么映射${f^o}g:X \to Z$称为映射$g$和$f$构成的复合映射.

注意："先$g$后$f$"的顺序，即便先"$g$后$f$"和先"$f$后$g$"的复合映射都存在，两者也未必相同.

这些概念是相互对应的：映射$ \Leftrightarrow $函数，逆映射$ \Leftrightarrow $逆函数,复合映射$ \Leftrightarrow $复合函数；