初等函数

幂函数：$y=x^μ (μ∈{\bf{R}} $，是常数)

幂在汉语中有两个词性：1.覆盖东西的巾. 2.覆盖，遮盖. 从幂函数的表达式$y=x^μ (μ∈{\bf{R}}$，是常数)来看，可以认为是：先有函数$y=x$，再把指数$μ$ "覆盖到函数$y=x$上面"，这就用到了汉语中"幂"的含义，或许这就是把英文Power function翻译成幂函数的一个理由；其次，$x^μ$表示$μ$个$x$相乘，有"增加，上升"的含义，这就用到power.

指数函数(exponential function)：$y=a^x (a>0且a≠1)$

我们从指数函数的英文来推导指数函数的含义，这么做的原因，是因为这些知识都是从英文为主的外文翻译过来的.

Exponential - n.指数，倡导者，演奏者，例子，[数] 指数；adj.指数的，幂数的

分解单词：

Exponential = ex [out of] + pon [position] + ent [n. suffix] + ial [adj. suffix]

出位的$ \Leftrightarrow $位置突出的$ \Leftrightarrow $倡导者

从英文字面上看，指数函数的意思表示函数自变量x的位置比较"突出"，因为用的词根是ex + pon，显然，$y=a^x$中$x$的位置确实突出在$a$的右上方.

指数函数的例子是1个细胞分裂$x$次后一共有$y$个(一个分裂成2个，2个分裂成4个...)：$y=2^x.$

对数函数：$y={\bf{log}}_ax$($a>0$且$a≠1$,特别地，$a=e$时,$y={\bf{ln}}x$)

$y$：对数；

$x$：真数；

$a$：底数.

$y=2^x$两边同时取2为底的对数意味着：

$${\bf{log}}_2y=?--→2^?=y$$

$$\log _2 2^x = ?? - - \to 2^{??} = 2^x $$

$$∵y=2^x$$

$$\therefore ? = ?? \Rightarrow {\log _2}y = {\log _2}{2^x}$$

这就是可以对一个等式两边同时取对数的原因.

对数函数的运算：

$$a^ma^n=a^{m+n}$$

$$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$$

设${\bf{log}}_aM=p$,则$a^p=M$

$$M^n=a^{pn}$$

$${\bf{log}}_a M^n=pn=n {\bf{log}}_aM$$

设${\bf{log}}_aM=p，{\bf{log}}_aN=q$，则$a^p=M，a^q=N$

$MN=a^pa^q=a^{p+q}$

所以

$${\bf{log}}_aMN=p+q={\bf{log}}_aM+{\bf{log}}_aN$$

设${\bf{log}}_aM=p，{\bf{log}}_aN=q$，则$a^p=M，a^q=N$

$$\frac{M}{N} = {a^{p - q}}$$

$${\log _a}\frac{M}{N} = p - q = {\log _a}M - {\log _a}N$$

三角函数：$y={\bf{sin}}x,y={\bf{cos}}x,y={\bf{tan}}x…$

反三角函数：$y={\bf{arc sin}}x,y={\bf{arc cos}}x,y={\bf{arc tan}}x…$

以上这五类函数统称为基本初等函数.常数与基本初等函数经过四则运算和复合函数的步奏构成的表达式，称为初等函数.

例如：

\[y={{\sin }^{3}}x,y=2\cos x\]