设实数$a < b$,数集$$\{ x|a < x < b\} $$称为开区间，记作$(a,b)$,即$$(a,b) = \{ x|a < x < b\} .$$

$a$和$b$称为开区间$(a,b)$的端点，这里端点$a \notin (a,b)$,$b \notin (a,b)$，数集$$\{ x{\text{|}}a \leqslant x \leqslant b\} $$称为闭区间，记作[a,b]，即[a,b]=$\{ x{\text{|}}a \leqslant x \leqslant b\} $.a和b也称为闭区间[a,b]的端点，这里a∈[a,b],b∈[a,b] 类似地可说明：

$$[a,b) = \{ x|a \leqslant x < b\} ,(a,b] = \{ x|a < x \leqslant b\} $$都是半开半闭区间.

区间(interval)是集合，是数的集合，是数集.

$b - a$称为这段区间的长度，即区间长度.

引入记号$ + \infty $和$ - \infty $（正无穷大和负无穷大，$\infty $来自罗马数字C|Ɔ = 1 000），则区间$[a, + \infty ) = \{ x|x \geqslant a\} ,( - \infty ,b) = \{ x|x < b\} $称为无限区间.

这里没有给出无穷大的严格定义，但是将其看做实数了，因为根据区间的定义，区间端点都是实数，因此$[a, + \infty )$中，必然是将∞看作实数.

此外，区间是数集，从集合的定义来看，根据集合元素的多少，将集合分为有限集合和无限集合，而此处给出的无限区间则是根据区间端点之间的距离的大小来定义的，需要注意这两者的区别.

区间通常用字母$I$表示，$I$是英语单词interval （n.间隔, 距离）的首字母.

邻域

以点$a$为中心的任何开区间称为点$a$的邻域，记作$U(a)$. $U$是德语umgebung的第一个字母，表示邻域的意思.

邻域是开区间，开区间是实数集合，是数集，所以邻域是集合.

设δ是任一正数，则集合$\{ x|a - \delta < x < a + \delta \} :$

1)是以点a为中心的开区间：$(a - \delta ,a + \delta )$

2)是数的集合.

根据邻域的定义，集合$\{ x|a - \delta < x < a + \delta \} $是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的$\delta $邻域，记作$U(a,\delta )$,即$$U(a,\delta ) = \{ x|a - \delta < x < a + \delta \} $$

上式右边是以大括号表示的集合，是数集，所以邻域是数的集合.

点$a$称为邻域的中心，$δ$称为邻域的半径.

$\because a - \delta < x < a + \delta $相当于$|x - a| < \delta $

$\therefore U(a,\delta ) = \{ x|a - \delta < x < a + \delta \} = \{ x||x - a| < \delta \} $

$|x-a|$表示点$x$与点$a$间的距离，所以$U(a,δ)$表示：与点$a$的距离小于$δ$的一切点$x$的全体.有时候用到的邻域要把邻域中心去掉.点$a$的$δ$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心邻域，记作$\mathop U\limits^o \left( {a,\delta } \right)$

因为$|x-a|≥0$，也就是，$|x-a|$大于或者等于0；假如记为$"|x-a|>0"$，则$|x-a|>0$只表示大于0但是不等于0的情况.所以点$a$的去心δ邻域表示为：$$\mathop U\limits^o \left( {a,\delta } \right) = \left\{ {x|0 < \left| {x - a} \right| < \delta } \right\}$$

$0<|x-a|$就表示$x≠a$.

两个闭区间的直积表示直角坐标平面$xOy$上的矩形区域，例如

$$\left[ {a,b} \right] \times \left[ {c,d} \right] = \left\{ {\left( {x,y} \right)|x \in \left[ {a,b} \right],y \in \left[ {c,d} \right]} \right\}$$

这就是为什么直积的符号用"+"旋转45°来表示的原因，因为"+"表示垂直，而为了和"+"区分，以旋转45° 后的符号"×"来表示，其依然具有垂直含义.