函数的极限

函数极限的定义

半径确定后，圆的面积就是一个确定的实数，我们希望用增加圆的内接正多边形的边数的方法求这个实数，但是只要正多边形的边数$n$确定了，那么正多边形的面积$x_n$始终小于圆的面积，所以当$n$取实数时，无论$n$多么大，始终无法求出圆的面积.

首先再来解释无穷大$“∞”$的概念：无穷大不是实数，但是比任何实数都大. 设确定了半径的圆的面积为$S，n$越大，则圆内接正多边形的面积越接近圆的面积$S$，当$n$趋于（趋近并等于）无穷大$∞$时，正多边形的面积也将趋于（趋近并等于）圆的面积$S$.用数学语言描述就是：

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = S.$$

$S$称为$n$趋于无穷大时$x_n$的极限，其中$x_n$是圆内接正多边形的面积. 这里的“趋于（趋近并等于）”表达了2层意思，一是趋近，也就是逐渐靠近，类似于汽车的速度极限是120km/h，那么要开到120km/h，速度值要从小到大取所有的值，比如109,110,111,112，...，这个过程就是“趋近”；另一层意思，是“等于”，也就是说，只有$n = ∞$时，正多边形的面积$x_n$才等于确定了半径的圆的面积，由于实数n不可能等于无穷大，所以实际上无法等于，但是在概念上，我们知道如果等于，那么必定有正多边形的面积$x_n$等于确定了半径的圆的面积.$n$不能取$∞$，所以我们用内接正多边形的方法，无论实数n取多大，都不能求出确定了半径的圆的面积是哪个实数$S$，但是我们知道$S$是存在的.

再比如，函数$y = \frac{1}{x}$当$x→∞$时，是否无限趋近于某一确定的数？

接下来我们将学习函数的极限和函数的连续性，来求出这个值.

数列是自变量为正整数的函数，从数列极限的概念，我们可以得出函数极限的概念.

函数极限的一般定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.

自变量的变化过程有：

1)自变量$x$任意地接近于有限值$x_0$或者说趋于有限值$x_0$（记作$x→x_0$）

2)自变量$x$的绝对值$|x|$无限增大即趋于无穷大（记作$x→∞$）

同一个函数，自变量的变化过程不同，函数的极限可能不同，它的极限是与自变量的变化过程密切相关的，这个变化过程是指$x$趋于哪一个$x_0$，或趋于无穷大$∞$（$x_0$不同就是自变量的变化过程不同）；我们说某个函数的极限为$A$，那么必定要指出是在自变量的某个具体的变化过程中（$x $趋于哪一个$x_0$），函数的极限为$A$.

无限接近就是“要多接近有多接近”，并且可以是“相等”！

1.自变量趋于有限值时函数的极限

假设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，现在考虑自变量$x$的变化过程为$x→x_0$.

$x→x_0$时函数的极限的定义如下：

定义1 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义. 如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$ε$（无论它多么小），总存在正数$δ$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0 |<δ$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

$$|f(x)-A|<ε$$

那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x→x_0$时的极限，记作

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A或f(x)→A(x→x_0)$$

和数列极限一样，如果函数$f(x)$的极限为$A$，那么用数学语言来描述，就是$f(x)$与$A$要多接近有多接近，无论给多么小的正数，两者的接近程度都可以小于该正数，用数学符号表示为$$|f(x)-A|<ε$$，显然$f(x)-A = 0$也成立.当$|f(x)-A|<ε$成立，则根据这个表达式，我们可以计算出$0<|x-x_0 |<δ$中的$δ$，所以$δ$是由函数$f(x)$，极限值A，以及$ε$决定的.

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$$ 读作$x$趋于$x_0$时，$f(x)$趋于A，或者读作$x$趋于$x_0$时，$f(x)$的极限等于A.用“等于”主要是想强调极限的精确性，用“趋于”，即“趋近并等于”则包含两层之前介绍过的意思.“趋近和等于”都在表达式$|f(x)-A|<ε$中完美地得到表达，“等于”的时候，是$|f(x)-A|=0<ε$，注意此时会计算出$|x-x_0 | = 0<δ$，即需要$x = x_0 $，需要注意一点，我们在定义中要求$0<|x-x_0 |<δ$，即要求去心邻域，$x ≠ x_0 $这个理由和数列极限时n无法取无穷大时一致的，换句话说，人类最初求极限的原因，也在于我们没办法使$x = x_0 $，但又需要知道$x = x_0 $时，函数值是多少，所以才使用去心邻域，后面会解释不使用去心邻域的情况；使“趋近”的时候是$|f(x)-A|≠0<ε$.

定义中的$0<|x-x_0 |<δ$中之所以在绝对值符号前面加上大于0的限制，是表示$x≠x_0$，之所以要限制$x≠x_0$，是因为我们之所以要求函数在$x→x_0$的极限，很重要的原因之一是函数的自变量无法取得$x_0$，而我们又不得不寻找方法求函数在该点的函数值.这个理由和求$n→∞$时数列的极限是相同的.

定义1可以简单地表示为：

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,当0 < |x - {x_0}| < \delta ,|f(x) - A| < \varepsilon $$

将$0<|x-x_0 |<δ$时,$|f(x)-A|<ε$在直角坐标系中表示出来即得到函数极限的几何意义.

极限定义法的一种直观理解

函数$f(x)$的极限等于$A$，记为$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$.

假如$f(x)$表示速度，那么就说速度的极限是$A$，也就是说，速度的最大值是$A$，极限就是终极速度，最大速度。

最大极限速度是$A$，设$x$是油门大小，速度要达到极限速度，意味着你的油门大小也要增加到最大，假设油门开到最大值$x_0$时，速度极限是$A$，

油门越大，即$x$越大，速度也越大,

油门越大，意味着$x$与$x_0$的距离越小，即$|x-x_0|$越小，

速度越大，意味着速度$f(x)$与极限速度$A$的距离$|f(x)-A|$越小，

$|f(x)-A|$是可以小于任何距离的，无论多么小的距离$ \varepsilon ，|f(x)-A|$都可以小于它，即$|f(x)-A|<\varepsilon $恒成立，

速度受到油门大小的控制，速度满足$|f(x)-A|<\varepsilon $ ，意味着$|x-x_0|$也要满足一个条件，怎么求这个条件呢？

通过解$|f(x)-A|<\varepsilon $，我们可以得到一个不等式$|x-x_0|<\delta.$

那么，可以取$x=x_0$时，函数在$x=x_0$处的极限是什么呢？我们通过例子来回答这个问题.

例 对常值函数$y=c$，求$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c.$

这里$c$是任意常数，比如2，-5等，我们取常数的英语单词constant的第一个字母$c$来表示任意常数，函数图像(比如取$c>0$)如下:

函数的定义域为${\bf{R}}$，所以$x_0$可以取任意实数，无论$x$取何值，都有$y=c$，设$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c=A,$根据定义，$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,$使得$0<|x-x_0 |<δ$时，能使$|f(x)-A|=|c-A|<ε$，也就是说，$x$以任意方式趋于$x_0$时（这里是一维情况，只有从$x_0 $的左侧和右侧两种方式），常数$c$与常数$A$的距离可以比给定的多么小的数$ε$还要小，也就是常数c与常数A的距离可以无限接近，那么，一个数和哪个数的距离可以无限接近呢？显然是和它本身可以任意接近,因此这里$A=c$，因此，$x→x_0$时，常值函数$y=c$的极限是$c$.

此外，还可以通过极限的定义来证明$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c.$

因为$y=f(x)=c$，所以$|f(x)-A|=|c-c|=0$，因此$\forall ε>0$,可以任意取$δ>0$，当$0<|x-x_0 |<δ$时，不等式$|f(x)-A|=|c-c|=0<ε$都成立，所以$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}c = c.$

注意，$x=x_0$时，常值函数$y=c$的函数值是$c$，极限值也是$c$，即$x=x_0$时函数的极限等于函数在该点的函数值.这种情况与我们之前求$n→∞$时数列$\{ {a_n}\} $的极限时是不同的，那时候因为$n$无法取无穷大，因此通项$a_n$与数列的极限值是近似相等，两者的差距要多小有多小的.而当我们可以取自变量趋于$x_0$时的函数值$f(x_0)$时，上面的例题中却出现了极限值等于该点的函数值的情况，此时极限值（即极限）与该点的函数值是相等的，而不是近似相等.我们在函数的极限的定义中，要求$x≠x_0$，是因为要顾及到有些函数在$x_0$点没有定义的情形，也就是说，极限的定义是考虑到全局每种情形的.如果我们人为地定义一个函数

\[y = \left\{ \begin{gathered} c,x \ne {x_0}, \hfill \\ c + 1,x = {x_0} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

此时$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$，(证明过程同上)但是极限不等于函数在$x=x_0$时的函数值$c+1$，我们还可以规定$x=x_0$时，此函数没有定义，例如

$$y=c,x≠x_0.$$

此时依然是$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$，(证明过程同上)，也就是说，函数在某点的极限值与函数在该点是否有定义，以及和在该点的函数值不一定有关系.上面是人为地定义的函数，而工程技术上通常会遇到不是人为定义而是客观条件决定和限制了的类似的函数.