无穷小

定义1 当$x→x_0 $(或$x→∞$)时，如果函数$f(x)$的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x→x_0 $(或$x→∞$)时的无穷小.

因为数列可以看作自变量为正整数的函数，所以特别地，以零为极限的数列$\{ {x_n}\} $称为$x→∞$时的无穷小.

无穷小的例子：

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0,$$

0是无穷小.

证明：设函数$y=f(x)=0$，则函数$f(x)$是当$x→x_0$ ($x_0$可以是无穷大或实数集中任何数) 时以0为极限的函数，即

$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,$(正数$X$)当$0<|x-x_0 |<δ$(或$|x|>X$),有$|f(x)-0|<ε$

这个证明涉及到一个概念：把常数0看作函数.

我们可以将任意常数看作定义域为${\bf{R}}$的函数.

再来进一步澄清无穷大的概念：无穷大包括正无穷大和负无穷大，是区别于实数的概念. 这段英文对无穷大的描述比较准确，易于理解：In mathematics，"infinity" is often treated as if it were a number (i.e.，it counts or measures things： "an infinite number of terms") but it is not the same sort of number as the real numbers. In number systems incorporating infinitesimals，the reciprocal(倒数) of an infinitesimal is an infinite number，i.e. a number greater than any real number.

下面的定理说明无穷小与函数极限的关系

定理1 在自变量的同一变化过程$x→x_0$ (或$x→∞$)中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+α$，其中$α$是无穷小.

证明:函数$f(x)$具有极限$A$，则$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A,$则$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$,当$0<|x-x_0 |<δ$时，有$|f(x)-A|<ε$，令$α=f(x)-A$，则 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,$时，有$|α|<ε$，即$α$是当$x→x_0$时的无穷小，$f(x)=α+A.$

若$f(x)=α+A$，则$|f(x)-A|=|α|$，$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,$当 $0<|x-x_0 |<δ$时，有$|α|<ε$，即$|f(x)-A|<ε$，所以$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A.$

$x→∞$时的情况读者可以自己证明.

无穷大

定义2 设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻内有定义(或$|x|$大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数$M $ (不论它多么大)，总存在正数$δ$ (或正数$X$)，只要$x$适合不等式$0<|x-x_0 |<δ$(或$|x|>X)$，对应的函数值$f(x)$总满足不等式

$$|f(x)|>M$$

则称函数$f(x)$为当$x→x_0 $(或$x→∞$)时的无穷大.

当$x→x_0$ (或$x→∞$)时的无穷大的函数$f(x)$，按函数极限定义来说，极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一特性，我们也说”函数的极限是无穷大”，并记作

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \infty $$

如果在无穷大的定义中，把$|f(x)|>M$换成$f(x)>M$(或$f(x)<-M$) ，就记作

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = - \infty 或(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = + \infty )$$

证明

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty .$$

证明：$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $表示$x→0$时$\frac{1}{x}$同时趋于正、负无穷大，到目前为止，我们只学了极限的定义，因此继续使用定义来证明：当$x→0$时，无论给定多么大的正数$M$，$|\frac{1}{x}|$都比$M$大.

这段话用数学语言描述为：$\forall M > 0,|\frac{1}{x}| > M.$

只需$|x| < \frac{1}{M}$即可，即当$0 < |x - 0| < \frac{1}{M}，$就有$|\frac{1}{x}| > M$，所以$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty .$

对比无穷小和无穷大的定义，然后将两者与函数极限的定义再作比较

定义	分析	结论
无穷小的定义：如果函数$f(x)$当$x→x_0 $(或$x→∞$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x→x_0$ (或$x→∞$)时的无穷小.	1）没有对定义域的说明.2）直接用到了极限的概念	当$x→x_0$ (或$x→∞$)时无穷大的函数，按函数极限的定义来说，极限是不存在的. 因此无穷大的定义中，使用了$ε-δ$方法，将定义域给出. 而无穷小的定义符合函数极限的定义，因此直接使用了极限的概念，对定义域的要求隐含在极限定义内.
无穷大的定义：设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻内有定义(或$|x|$大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数$M $(不论它多么大)，总存在正数$δ$ (或正数$X$)，只要$x$适合不等式$0<|x-x_0 |<δ$(或$|x|>X$)，对应的函数值$f(x)$总满足不等式 $$|f(x)|>M$$ 则称函数$f(x)$为当$x→x_0$ (或$x→∞$)时的无穷大.	有对定义域的要求
函数极限的定义：设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻内有定义(或$|x|$大于某一正数时有定义).如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$ε$（无论它多么小），总存在正数$δ$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0 |<δ$(或$|x|>X$)时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式 $$|f(x)-A|<ε$$ 那么常数A就叫做函数$f(x)$当$x→x_0$ (或$x→∞$)时的极限，记作$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$或$f(x)→A$(当$x→x_0$ 或$x→∞$).	有对定义域的要求