第一章 函数与极限

集合(set)及其相关概念作为微积分的基础，影响到后续内容的分析与理解.

集合是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素(elements,简称元).集合的元素可以是任何事物：数字，人，字母等等.本文主要使用的集合是元素为数字的集合，即数集.集合定义中的性质,是指事物本身所具有的与其他事物不同的根本属性(attribute).对于某一个数集，比如自然数的集合，集合定义中的“事物”是数，“某种特定性质”就是“自然数的性质”，而不是整数或实数的性质.比如负数就不具有自然数的性质，因此，自然数集就是具有自然数的特定性质的数的总体.

集合与集合的元素的表示符号

通常用大写的拉丁字母$$A,B,C,...$$表示集合，用小写的拉丁字母$$a,b,c,x,...$$表示集合的元素.

集合的分类

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集，不是有限集的集合称为无限集.这是根据集合的元素个数来分类的.

表示集合的方法通常有两种：

列举法：把集合的全体元素一一列举出来:

\[A = \{ {a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5}\} \]

全体元素用大括号括起来，元素之间用逗号隔开.通常用列举法表示元素个数有限的有限集，但是当集合的元素个数很多，甚至有无限多个时，完全写出元素会有困难，对于元素之间有相互关系且元素个数无限的数集，若元素可数（countable,即元素与自然数集中的元素一一对应，是可以计数的，尽管计数可能永远无法完成），比如整数的集合.我们用省略号“...”来简化表示，比如正整数集表示为

$${\text{N}} = \{ 1,2,3,...,n,...\} $$

这样一来，无限可数集合（数集）也可以用列举法表示.对于无限不可数集合，既然无法计数，又如何一一列举出来？因此无限不可数集合不能用列举法表示.

集合的元素之间满足无序性，互异性，确定性.

无序性：例如数集\[A = \{ 1,2,3,4,5\} \]也可以表示为\[A = \{ 2,3,5,4,1\} \]

互异性：集合内的所有元素都是不同的，比如集合\[A = \{ 1,2,3,4,5,5\} \]不正确.

确定性：每个集合的元素都是确定的，比如自然数集中都是自然数，而高个子的男生组成一个集合就不正确，因为没有说明多高算高个子，即元素不确定.

描述法

\[M = \{ x|x具有某种性质P\} \]

\(P\)是英文单property的首字母，通常情况下，用\(x\)表示集合的元素.例如用描述法表示集合\(M = \{ x|x \ge 0\} \),集合\(M\)表示大于等于0的所有实数，是数的集合，因为元素个数有无穷多个，所以是无限集.

集合与集合的元素之间的关系

如果\(a\)是集合\(A\)的元素，就说\(a\)属于\(A\)，记作\(a \in A\).

如果\(a\)不是集合\(A\)的元素，就说\(a\)不属于\(A\)，记作\(a \notin A\).

我们主要讨论数的集合,即数集.

对于数集，我们在表示数集的字母右上角标上"*"号，表示数集内排除0，标上"+"号，表示数集内排除0与负数.用"*"表示排除0，是因为将星号边上6点用光滑的线连接起来，就得到一个看起来像0的圆圈.

自然数的集合：全体非负整数，记作${\Bbb N}$ (natural)，

$${\text{N}} = \{ 0,1,2,3,...,n,...\} .$$

全体正整数的集合:

$${{\text{N}}^ + } = \{ 1,2,3,...,n,...\} .$$

全体整数的集合记作${\text{Z}}$(德语中的整数叫做${\text{Zahlen}}$)：

$${\text{Z}}= \{ ..., - n,..., - 2, - 1,0,1,2,...,n,...\} .$$

全体有理数的集合记作${\text{Q}}$(quotient -商，即分子除以分母的商):

\[{\text{Q = \{ }}\frac{p}{q}{\text{|}}p \in {\text{Z}},q \in {{\text{N}}^ + }且p与q互质{\text{\} }}\]

互质：若\(n\)个整数的最大公约数是1，则称这\(n\)个整数互质.例如8，10的最大公约数是2，不是1，因此8 和10不互质.1和任何数都互质.

当\(p\)为整数，\(q = 1\)时，$\frac{p}{q}$表示整数，当\(p\)为整数，$q \ne 1$时，$\frac{p}{q}$表示分数或整数.因此， \({\text{Q = \{ }}\frac{p}{q}{\text{|}}p \in {\text{Z}},q \in {{\text{N}}^ + }且p与q互质{\text{\} }}\)可以表示整数，也可以表示分数，即整数和分数统称有理数.

全体实数的集合记作${\text{R}}$,注意理解集合${{\text{R}}^ + },{{\text{R}}^*}.$

集合与集合的关系

如果集合\(A\)的元素都是集合\(B\)的元素，则称\(A\)是\(B\)的子集，记作$A \subset B$（读作\(A\)包含于\(B\)）或$B \supset A$（读作\(B\)包含\(A\)），$A \subset B$，说明集合\(A\)和\(B\)的元素具有相同的性质，比如元素都是实数.$A \subset B$时，\(A\)和\(B\)的元素个数有两种情况：

1）\(A\)的元素个数小于\(B\)的元素个数；例如$A = \{ 1,2\} $，$B = \{ 1,2,3\} $

2）\(A\)的元素个数等于\(B\)的元素个数且元素相同.例如$A = \{ 1,2\} $，$B = \{ 1,2\} $，此时我们说集合\(A\)等于集合\(B\)，记作$A = B$.

为了区分，引出真子集的概念：

若$A \subset B$且$A \ne B$,则称\(A\)是\(B\)的真子集，记作$A \not\subset B$,读作\(A\)真包含于\(B\).

不含任何元素的集合称为空集，记作Ø.规定空集是任何集合的子集.

集合的运算

两个集合的交集：$A \cap B = \{ x|x \in A$且$x \in B{\text{\} }}$

两个集合的并集：$A \cup B = \{ x|x \in A$或$x \in B\} $

两个集合的差集：$A\backslash B = \{ x|x \in A$且$x \notin B\} $

之前遇到的各种符号,$ \notin , \not\subset , \ne ,$∅中，斜杠“/”都是向右倾斜，这是一种习惯写法；但是在差集的表示中，斜杠是向左倾斜的，此处目的是与比例符号（比如$A/B$）区分开来.同时因为在差集的表达式中，集合$A$的元素通常情况下比集合$B$的元素多，所以斜杠向$A$倾斜，靠在元素多的集合上，可能是因为“靠山的实力强”.此外还应注意到，差集$A\backslash B$是元素多的集合在前面，这相当于“多的减去少的”.

全集或基本集$I$

我们研究问题时涉及到的集合可能是某个集合的子集，比如集合$A = \{ x|x > 0\} $是实数集$\text{R}$的子集，此时就把$\text{R}$称为全集或基本集，$I\backslash A$称为$A$的余集或补集，记作${A^c}$,c是complement的第一个字母.

complement - n.补足物

余集或补集用到差集的概念，$I\backslash A$类似于$I - A$.

集合的交、并、余运算满足下列法则.

设$A,B,C$为任意三个集合，则有下列法则成立：

(1) 交换律$A \cup B = B \cup A,A \cap B = B \cap A$

(2) 结合律

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

(3) 分配率

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

(4) 对偶率

${(A \cup B)^c} = {A^c} \cap {B^c}$

${(A \cap B)^c} = {A^c} \cup {B^c}$

分配律的证明：

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

左边：

元素$x$可能在$A$中，或在$(B \cap C)$中，假如$x$在$A$中，那么$x$一定在$(A \cup B)$中，也在$(A \cup C)$中，因此$x$在$(A \cup B) \cap (A \cup C)$中. 假如$x$在$(B \cap C)$中，那么$x$一定在$B$中，从而$x$一定在$(A \cup B)$中；同理，$x$一定在$(A \cup C)$中.因此从左到右成立：$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$,从右到左也是类似的思路.

右边：

$x$在$(A \cup B) \cap (A \cup C)$中，那么$x$在$(A \cup B)$中，且$x$在$(A \cup C)$中.

如果$x$在$A$中，那么$x$也在$A \cup (B \cap C)$中.

如果$x$在$B$中，那么$x$一定在$C$中，因此$x$在$(B \cap C)$中，从而$x$在$A \cup (B \cap C)$中，即$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$

直积或笛卡尔乘积

设$A,B$是任意两个集合，$A$与$B$的直积记为

$$A \times B = \{ (x,y)|x \in A且y \in B\} $$

直积的对象是集合，结果也是集合，两个集合相互作用后得到另一集合.直积或迪卡尔乘积的主要目的是将数字表达式转化为直观的图形. 在数学领域，两个实数集的子集$A,B$的直积，是平面直角坐标系下的点的集合，这就是从数到图的转换.

例如，${\text{R}}\times{\text{R}}=\{ (x,y)|x \in {\text{R}},y \in {\text{R}}\} $即为$xOy$面上全体点的集合，${\text{R}}\times{\text{R}}常记作$${{\text{R}}^2}$.直积用符号"×"表示，因为"×"号是"+"号逆时针旋转45°形成的，用到的是垂直的含义(在直角坐标系中根据点的坐标描点需要用到垂线)，因为直积是在直角坐标系中进行的，但是为了和"+"号区别开，所以使用"×"号.