函数单调性的判断

设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，在$[a,b]$上任取两点$x_1$,$x_2$ ($x_1 < x_2$)，应用拉格朗日中值定理得

$$f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( \xi \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_1} < \xi < {x_2})$$

因为$x_2-x_1>0$，因此，如果在$(a,b)$内导数$f' (x)$保持正号，即$f' (x)>0$，那么也有$f' (ξ)>0$.于是

$$f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( \xi \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) > 0$$

即

$$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)$$

表明函数$f(x)$在$[a,b]$上单调增加.

同理，如果在$(a,b)$内导数$f' (x)$保持负号，即$f' (x)<0$，那么也有$f' (ξ)<0$.于是

$$f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = f'\left( \xi \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) < 0$$

即

$$f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)$$

表明函数$f(x)$在$[a,b]$上单调减少.

拉格朗日中值定理的等式

$$\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = f'\left( \xi \right)({x_1} < \xi < {x_2})$$

中，等号左边是过$x_1$,$x_2$的直线的斜率，直线的斜率需要考虑直线与$x$轴的正方向的夹角，因此，已知直线上的两点，求直线的斜率时，通常用$\frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}$(其中$x_2 > x_1$)来表示，这样可以避免 $f(x_2 )-f(x_1 )$还是$f(x_1 )-f(x_2 )$，$x_2-x_1$还是$x_1-x_2$的问题，而且增量一般情况下都是末量减去初量.

这里所说的单调性，是指严格单调性，即不包括相等的情况.

定理1 设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导.

（1）如果在$(a,b)$内$f' (x)>0，$那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调增加；

（2）如果在$(a,b)$内$f' (x)<0，$那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调减少.

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立.现在来分析，函数的单调区间是否包括区间的端点：

函数在区间上单调增加或单调减少是指整个区间上的函数值相互比较，对于开区间或无穷区间，我们不可能取得开区间的端点或无穷点，因此，对于开区间或无穷区间内的任意两点$x_2$,$x_1$，依然可以以此为闭区间应用拉格朗日中值定理，也就是课本上所说的，如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立.

如果将闭区间$[a,b]$换成其他区间（包括半开区间、开区间和无穷区间），那么在这些区间上，依然可以找到不包括区间端点或无穷点的闭区间，满足闭区间上存在极大值和极小值的条件，从而可以利用拉格朗日中值定理得到定理1的结论，因此，定理1的结论在这些区间上也是成立的.

在罗尔定理的结论中，点$ξ$在开区间$(a,b)$内，而不包括端点$a,b$的原因，主要是“我们希望在区间内至少有一点”，对于闭区间，虽然端点也是“区间内”的点，但这和概念上的“内，内部”不符，因此在罗尔定理的结论中使用的是“开区间$(a,b)$内至少存在一点”，使得定理具有普遍性而不特殊（端点的情况），端点处涉及到单侧可导，是可导的特例.

 

例 讨论函数$y = {{\text{e}}^x} - x - 1$的单调性.

解:$y' = {{\text{e}}^x} - 1$

函数$y = {{\text{e}}^x} - x - 1$的定义域为$(-∞,+∞)$，

$(-∞,0]$: 单调增加

$[0,+∞)$: 单调减少

 

例 讨论函数$y = \root 3 \of {{x^2}} $的单调性.

解:$$y' = \frac{2}{{3\root 3 \of x }}(x \ne 0)$$

$x∈(-∞,0]$时,$y'<0$: 单调减少；

$x∈[0,+∞]$时,$y'>0$: 单调增加.

$x=0$时，$y'$不存在，

连续导数：初等函数在其定义区间都是连续函数，我们在其定义区间内求导（如果可导），导函数一般来讲也是初等函数，其间断点只有一种情况：使导函数的表达式没有定义的点.因此，在导函数的定义区间内，导函数都是连续导数.

从上两例看出，有些函数在定义区间上不是单调的，函数的单调区间的分界点（单调增加区间和单调减少区间的分界点）可能是函数导数为零的点（即连续导数的导数等于零的点），也可能是导数不存在的点.

一般地，如果$f'(x)$在某区间内的有限点处为零，在其余各点处均为正（或负）时，$f(x)$在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.