首先复习几个概念：

算术：以自然数和非负分数为主要对象，包括a.讨论自然数的读、写和基本运算（加、减、乘和除法，有时也包括较高级的运算（例如百分比、平方根、取幂和对数），这一部分包括十进位制计数法.b.算术运算的方法与原理的应用，如算术应用题.

代数：代数是由算术演变来，分为初等代数和高等代数. 为了寻求有系统的、更普遍的算术运算方法，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数；初等代数进一步发展为研究未知数更多的一次方程组和研究未知数次数更高的高次方程. 这时候，代数学就由初等代数向高等代数发展了. 高等代数一般包括两部分：线性代数初步 、多项式代数.

代数运算：在具有某个运算的集 M 中，任意两个元素通过这个运算仍得到 M 中的一个确定元素，称这个运算为 M 的一个“代数运算”.

代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式.

单项式：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

多项式：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减一个数等于加上它的相反数）.多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数. 多项式函数：函数表达式是多项式的函数，叫做多项式函数.

若函数$f(x)$在$x=0$处可导，则在$x=0$点的某个邻域内（即$|x|$很小），可以用该点处的切线方程$f(x)=f(0)+f(0)' (x-0)$近似代替曲线方程，如

$$\eqalign{ & \left( {\text{i}} \right){\text{}}\root n \of {1 + x} \approx 1 + \frac{1}{n}x \cr & \left( {{\text{ii}}} \right){\text{}}\sin x \approx x \cr & \left( {{\text{iii}}} \right){\text{}}\tan x \approx x \cr & \left( {{\text{iv}}} \right){\text{}}{{\text{e}}^x} \approx 1 + x \cr & \left( {\text{v}} \right){\text{}}\ln (1 + x) \approx x \cr} $$

更普遍地，若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间内一阶可导，则

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f'({x_0})$$

存在，根据函数极限与无穷小的关系可知，

$$\frac{{f\left( x \right) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = f\left( {{x_0}} \right)' + \alpha $$

其中$α$是$x→x_0$时的无穷小.

$$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f{\left( {{x_0}} \right)'}(x - {x_0}) + \alpha \cdot (x - {x_0})$$

若用函数

$${P_1}\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'(x - {x_0})$$

近似表示$f(x)$，则误差是比$(x-x_0)$更高阶的无穷小$\alpha \cdot (x - {x_0})$. 赋予函数$f(x)$运动学方程的实际意义，用$P_1 (x)$近似表达$f(x)$时，在$x=x_0$点处$P_1 (x)$及其一阶导数的值分别等于被近似表达的函数$f(x)$及其一阶导数的相应值. 也就是，$P_1 (x)$在$x=x_0$点处与$f(x)$有相同的位移和瞬时速度.

若我们能找到另外一个函数$P_2 (x)$，使得在$x=x_0$点处$P_2 (x)$的函数值、一阶导数、二阶导数分别等于$f(x)$的相应值，也就是，$P_2 (x)$在$x=x_0$点处与$f(x)$有相同的位移、瞬时速度和加速度，那么用$P_2 (x)$近似表达$f(x)$时的精确度将比$P_1 (x)$高；$P_2 (x)$与$f(x)$之间的误差会更小.

我们现在来求$P_2 (x)$的表达式.假设函数$f(x)$在$x_0$的某个开区间内二阶可导，由

$$\eqalign{ & f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'(x - {x_0}) + \alpha \cdot (x - {x_0}) \cr & {R_1}\left( x \right) = f\left( x \right) - {P_1}\left( x \right) = \alpha \cdot (x - {x_0}) \cr & f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + {R_1}\left( x \right) \cr} $$

易得，

$${R_1}\left( {{x_0}} \right) = \alpha \cdot \left( {{x_0} - {x_0}} \right) = 0$$ $${R_1}'\left( {{x_0}} \right) = \alpha = 0(设{\text{}}x = {x_0}时{\text{}}\alpha = 0) \Leftarrow {R_1}'\left( x \right) = \alpha ' \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \alpha $$ $${R_1}{''}\left( x \right) = f''\left( x \right)$$

现在来求$R_1 (x)$的具体表达式，因为$R_1 (x)$在$x_0$的某个邻域内2阶可导，应用柯西中值定理公式，可得

$$\frac{{{R_1}\left( x \right)}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2}}} = \frac{{{R_1}\left( x \right) - {R_1}\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} - {{\left( {{x_0} - {x_0}} \right)}^2}}} = \frac{{{R_1}'\left( {{\xi _1}} \right)}}{{2\left( {{\xi _1} - {x_0}} \right)}}，(ξ_1 在x与x_0 之间)$$ $$ = \frac{{{R_1}'\left( {{\xi _1}} \right) - {R_1}'\left( {{x_0}} \right)}}{{2\left( {{\xi _1} - {x_0}} \right) - 2\left( {{x_0} - {x_0}} \right)}} = \frac{{{R_1}''(\xi )}}{{2!}} = \frac{{f''\left( \xi \right)}}{{2!}}，(ξ在ξ_1 与x_0 之间)$$

于是

$${R_1}\left( x \right) = \frac{{f''\left( \xi \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2}$$

所以

$$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( \xi \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2}$$

这里之所以用$(x-x_0 )$的2次方与$R_1 (x)$在$x$到$x_0$之间应用柯西中值定理公式，是因为：

(1)$\frac{{{R_1}\left( x \right)}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2}}}{\text{}}$是$x→x_0$时的未定式,

(2)$R_1 (x)$在$x_0$的某个邻域内2阶可导.

故

$$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( \xi \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2}$$

上式为一阶泰勒公式

在一阶泰勒公式中，将$ξ$（$ξ$在$x$与$x_0$ 之间）用$x_0$代替，则有近似公式

$$f\left( x \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2}$$

令

$${R_2}\left( x \right) = f\left( x \right) - [f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2}]$$

同理可得

$${R_2}\left( x \right) = \frac{{f'''\left( \xi \right)}}{{3!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^3}{\text{}}, (ξ在x与x_0 之间)$$ $$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + \frac{{f'''\left( \xi \right)}}{{3!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^3}$$

此式称为函数$f(x)$的二阶泰勒公式.

同理可得$f(x)$的$n$阶泰勒公式.

$$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + \ldots $$ $$ + \frac{{{f^{(n)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + {R_n}\left( x \right)$$

其中

$${R_n}\left( x \right) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \xi \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{(x - {x_0})^{n + 1}}$$

上述推导过程与一般微积分教材上的类似，我们重点来研究为什么要用多项式函数${(x - {x_0})^{n}}$（而不是其它函数）代替一个函数在某点的函数.思路是：

1.将整数用无穷几何级数表示：

$$1 = {1 \over 2} + {1 \over {2^2 }} + ... + {1 \over {2^n }} + ...$$

2.求曲边形的面积.

当函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间内$n+1$阶可导时，在某个邻域$U(x_0)$内可以用函数$P_n (x)$近似表达$f(x)$. $P_n (x)$是一个多项式函数. 用多项式函数$P_n(x)$近似表达$f(x)$，是由$f(x)$的可导性以及对近似表达时的精确性要求决定的. 我们并不是凭空地认为多项式函数简单，所以才用多项式函数近似表达$f(x)$；

有的高等数学上认为，“由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式函数近似表达函数.”实际上，仅仅由多项式函数的这个特点而想象出多项式函数$P_n (x)$是十分困难且缺乏逻辑的.由于微积分最初在解决运动学中的瞬时速度和几何切线问题中涉及到，因此从导数和位移、速度和加速度出发，是推导泰勒公式的一种有效途径.