微分在近似计算中的应用

 

1. 函数的近似计算

例1 直径为1cm 的球面镀上一层厚度为0.01cm 的铜，估计一下需用铜多少g（铜的密度是8.9${\text{g}}/{\text{c}}{{\text{m}}^3}$）?

解:球的体积与半径的关系为$V = \frac{4}{3}\pi {R^3},$$V$是$R$的函数，相当于函数$y = a{x^3}(a = \frac{4}{3}\pi )$. 我们要估计当$\Delta R = 0.01$cm时，函数$V$的变化量$\Delta V$.

因为是估计而不是求真实的变化量$\Delta V$，因此我们是用$V$的微分${\text{d}}V$来估算，

$$\Delta V \approx {\text{d}}V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3{R^2}{\text{d}}R = 4\pi {R^2}{\text{d}}R \approx 4 \times 3.14 \times {1^2} \times 0.01 = 0.13({\text{c}}{{\text{m}}^3})$$

需要铜约为

$$0.13 \times 8.9 \approx 1.16({\text{g}})$$

例 估算$\sin {30^0}30'$的近似值.

解:${30^0}30' = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}}$，因为是近似计算，因此运用函数$y = \sin x$在$x = \frac{\pi }{6}$处的近似表达式（切线方程式）$f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f({x_0})'{\text{d}}x$来计算.

$$\eqalign{ & \sin {30^0}30' = f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x \cr & = \sin \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{{360}} \cdot \cos \frac{\pi }{6} \cr & = 0.5 + \frac{\pi }{{360}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cr & \approx 0.5076 \cr} $$

如果函数$y=f(x)$在$x=x_0$处可导，那么$\Delta y$在$\Delta x$很小的情况下，可以近似地用${\text{d}}y = f({x_0})'{\text{d}}x$表示，此时$|\Delta y - {\text{d}}y| = o({\text{d}}y)$，也是$o(\Delta x).$

即${\text{d}}y = f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x$

$$f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x$$ $$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x$$

当$x_0=0 $时，用切线方程式$f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)'{\text{d}}x$代替曲线方程会给某些复杂的方程式的近似计算带来方便，下面的式子在$x_0=0 $ 时可导，

$$\eqalign{ & ({\text{i}}){\text{}}\root n \of {1 + x} \cr & \left( {{\text{ii}}} \right){\text{}}\sin x \cr & \left( {{\text{iii}}} \right){\text{}}\tan x \cr & ({\text{iv}}){\text{}}{{\text{e}}^x} \cr & \left( {\text{v}} \right){\text{}}\ln (1 + x) \cr} $$

在$x_0=0$处，当$\Delta x$很小（$|x|$很小时），用切线方程得到的近似公式为

$$\eqalign{ & \root n \of {1 + x} \approx 1 + \frac{1}{n}x \cr & \sin x \approx x \cr & \tan x \approx x \cr & {{\text{e}}^x} \approx 1 + x \cr & \ln (1 + x) \approx x \cr} $$

2. 误差估计

求圆的面积时，我们是首先测量圆的直径$D$，然后根据公式$S = \frac{\pi }{4}{D^2}$算出面积，测量直径$D$时往往带有误差，而根据带有误差的数据$D$计算出的面积$S$也会有误差，我们把这种误差叫做间接测量误差.