反函数的求导法则

定理2 如果函数$y=f(x)$在区间$I_x$内单调、可导且$f'{(x)}≠0$，则它的反函数$f^{-1}(x)$在区间${I_y} = \{ y|y = f\left( x \right),x \in {I_x}\} $内也可导，且

$$\left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]' = \frac{1}{{f'(x)}}$$

或

$$\frac{{{\bf{d}}f^{-1}(x)}}{{{\bf{d}}x}} = \frac{1}{{\frac{{{\bf{d}}f(x)}}{{{\bf{d}}x}}}}$$

证 因为$y=f(x)$在区间$I_x$内单调、可导（因而连续），由第一章第九节定理2知道，该函数存在反函数${f^{ - 1}}(x)$且连续，在反函数的定义区间$I_y$内，给反函数的自变量$x$一个增量$\Delta x'(\Delta x' \ne 0,x + \Delta x' \in {I_y})$，由于反函数单调，所以${f^{ - 1}}\left( {x + \Delta x'} \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right) \ne 0,$于是有

$$\frac{{{f^{ - 1}}\left( {x + \Delta x'} \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta x'}} = \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}}$$

由于$f^{-1} (x)$连续，因此

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x' \to 0} \left[ {{f^{ - 1}}\left( {x + \Delta x'} \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right)} \right] = \mathop {{\bf{lim}}}\limits_{\Delta y \to 0} \Delta x = 0$$

这句话的意思是：因为反函数是连续函数，当其自变量的增量趋于0时，函数值的增量也趋于0；

如果我们对上式左边求$\Delta x' \to 0$时的极限，相应地右边的${\Delta y}$也趋于0，从而${\Delta x}$也趋于0，此时左边是反函数求导的定义式，右边是原函数求导.正是由于这一过程，我们才在不知道等号左边极限是否存在的情况下，按照导数的定义式求出它的导数是原函数的导数的倒数（等号右边），即：

$$\left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]' = \left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x' \to 0} \frac{{{f^{ - 1}}\left( {x + \Delta x'} \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right)}}{{\Delta x'}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}} = \frac{1}{{f'(x)}}$$

备注：下面的条件在此证明中十分重要，也很容易被忽略:

由于$y=f^{-1} (x)$连续，因此$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x' \to 0} \left[ {{f^{ - 1}}\left( {x + \Delta x'} \right) - {f^{ - 1}}\left( x \right)} \right] = \mathop {{\bf{lim}}}\limits_{\Delta y \to 0} \Delta x = 0.$

例 求$y = \arcsin x$的导数.

解$y = \arcsin x$是函数$x = \sin y,y \in [ - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$的反函数,

这里之所以规定了$y \in [ - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，是因为在该区间上，$x = \sin y$是单调递增函数，因此具有反函数.(只有一对一的单射或一一映射才具有反函数.)

$$\left. \matrix{ \left( {\sin y} \right)' = \cos y \ne 0 \Rightarrow y \ne \pm {\pi \over 2}, \hfill \cr y' = \left( {\arcsin x} \right)' = {1 \over {\left( {\sin y} \right)'}},\left[ {\left( {\sin y} \right)' \ne 0} \right], \hfill \cr y \in \left[ { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right], \hfill \cr} \right\} \Rightarrow y \in \left( { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right)$$ $$\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos y = \pm \sqrt {1 - {\text{si}}{{\text{n}}^2}y} ,} \\ {y \in ( - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}),} \\ {x = \sin y \Rightarrow {\text{si}}{{\text{n}}^2}y = {x^2},} \end{array}} \right\} \Rightarrow \cos y = \sqrt {1 - {x^2}} $$ $$\therefore y' = \left( {\arcsin x} \right)' = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}.$$

例 求$y = \arctan x$的导数.

解 函数$x = \tan y$在区间${I_y} \in ( - \frac{{\pi }}{2},\frac{{\pi }}{2})$内单调可导（因而连续），具有反函数$y = \arctan x，$并且$x = \tan y$在区间${I_y} \in ( - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$内的导数

$$f'\left( y \right) = {\tan'}y = {\text{se}}{{\text{c}}^2}y = \frac{1}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}y}} \ne 0$$

根据反函数的求导法则，

$$y' = \arctan {'}x = \frac{1}{{f'\left( y \right)}} = \frac{1}{{{\text{se}}{{\text{c}}^2}y}}$$ $${\text{se}}{{\text{c}}^2}y = 1 + {\text{ta}}{{\text{n}}^2}y = 1 + {x^2}$$

所以

$$y' = \arctan {'}x = \frac{1}{{f'\left( y \right)}} = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$$

上面两例是通过反函数的求导法则求导，我们也可以将y看作x的函数，通过复合函数的求导法则求导.

定理2 如果函数$y=f(x)$在区间$I_x$上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x=f^{-1} (y)$也在对应的区间${I_y} \in \{ y|y = f(x),x \in {I_x}\} $上单调增加（或单调减少）且连续.

例 求函数$y = {\log _a}x$的导数.

解 如果能找到函数$y = {\log _a}x$的反函数，那么可以运用反函数的求导法则求解它的导数；我们知道，单调连续函数具有反函数，而函数$y = {\log _a}x$在区间$I_x∈(0,+∞)$上是单调且连续的（初等函数在其定义域内都是连续函数），因此存在反函数，它的反函数$x=a^y,(a>0,a≠1)$在区间$I_y∈(-∞,+∞)$内单调可导，且

$$\left( {{a^y}} \right){'} = {a^y}\ln a \ne 0$$

所以

$$y' = ({\log _a}x)' = \frac{1}{{\left( {{a^y}} \right){'}}} = \frac{1}{{{a^y}\ln a}} = \frac{1}{{x\ln a}}.$$