隐函数的导数

我们来定义一个方程：$f(x,y)=x^2+y^2$，当$f(x,y)=1$时，方程$x^2+y^2=1$描述了变量$x$和变量$y$之间的相互关系；只有增加某些限定条件才能将方程$x^2+y^2=1$表示为两个变量之间的函数关系，比如：

\begin{equation} y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y \geqslant 0 \end{equation}

或

\begin{equation} y = - \sqrt {1 - {x^2}} ,y < 0 \end{equation}

方程$x^2+y^2=1$并不是$x$和$y$的函数关系式，但它却隐藏了两个不同的函数(1)和(2)（要增加额外的限定条件才是）.在其他的情况下，方程$f(x,y)=c$($c$是常数) 不需要增加限定条件，本身就是两个变量的函数关系式，例如：

$$x+y^3=1$$

这个函数不是我们通常看到的因变量在等号左边、自变量在等号右边的函数表达式（显函数），我们称这样的函数为隐函数，例如

$$x^2+y^2=1,y≥0$$ $$x^2+y^2=1,y<0$$

都是隐函数，由表示图像的方程$f(x,y)=0$添加限定条件可以得到隐函数；把一个隐函数化为显函数，叫做隐函数显化.例如将$x+y^3=1$解为$y = \root 3 \of {1 - x} $.我们已经学习了显函数的求导，所以将隐函数显化后求导数是一种化繁为简的方法，但有些隐函数的显化比较困难，甚至是不可能的.我们希望有一种不必显化就能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数的方法.

例 求由方程${{\bf{e}}^y} + xy - 2{\bf{e}} = 0$所确定的隐函数的导数$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$

解 因为已经给出的方程${\bf{e}}^y+xy-2\bf{e}=0$确定了隐函数$y=y(x)$，所以不用根据函数的对应关系“一对一或多对一”判断方程是否确定了变量$x$和$y$之间的函数关系. 把方程两边分别对$x$求导得：

$$\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\left( {{{\bf{e}}^y} + xy - 2\bf{e}} \right) = {{\bf{e}}^y}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + y + x\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$$

方程两边同时对$x$求导，过程是：1.两边同时乘以$\frac{1}{{\Delta x}},\Delta x \ne 0$，此时方程两边相等.2.求$\Delta x \to 0$时的极限，此时因为函数相同，所以极限也是相同的，因此方程两边同时对$x$的导数相等.

$$(0)'=0$$

从而

$${{\bf{e}}^y}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + y + x\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 0$$ $$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = - \frac{y}{{x + {{\bf{e}}^y}}}(x + {{\bf{e}}^y} \ne 0)$$

$y=y(x)$是由方程${\bf{e}}^y+xy-2\bf{e}=0$所确定的隐函数.

例 求由方程$y^3+2y-x-3x^7=0$所确定的隐函数在$x=0$处的导数$\frac{{\text{d}y}}{{\text{d}x}}{|_{x = 0}}.$

解:由已知条件可知，不用根据函数的定义判断方程是否确定了隐函数$y=y(x)$；由于方程两边对$x$的导数相同，所以

$$\eqalign{ & 3{y^2}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + 2\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} - 1 - 21{x^6} = 0 \cr & \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{21{x^6} + 1}}{{3{y^2} + 2}} \cr & \frac{{\text{d}y}}{{\text{d}x}}{|_{x = 0}} = \frac{1}{2} \cr} $$

例 求$y = 2{x^{\sin x}}(x > 0)$的导数.

解:两边求对数得：$\ln y = \sin x\ln 2x,$($x>0$的已知条件在此处得到应用)

注意到$y=y(x)$，两边对$x$求导得：

$$\frac{1}{y}y{'} = \cos x \cdot \ln 2x + \sin x \cdot \frac{2}{{2x}}$$ $$y' = y(\cos x \cdot \ln 2x + \sin x \cdot \frac{1}{{x}}) = {x^{\sin x}}(\cos x \cdot \ln 2x + \sin x \cdot \frac{1}{{x}})$$

对于一般的幂指数函数，也有类似的求导过程.

例 如果$u=u(x),v=v(x)$都可导，求幂指函数$y=u^v (u>0)$的导数.

 

解:对幂指函数两边取对数得：

$$\eqalign{ & \ln y = \ln {u^v} \cr & {{\bf{e}}^{\ln y}} = {{\bf{e}}^{\ln {u^v}}} = {{\bf{e}}^{v\ln u}} = {u^v} = y \cr} $$

两边对$x$求导得：

$$\eqalign{ & y' = {{\text{e}}^{v\ln u}} \cdot \left( {v'\ln u + \frac{{u'}}{u} \cdot v} \right) \cr & = {u^v}\left( {v'\ln u + \frac{{u'}}{u} \cdot v} \right) \cr} $$

 

例求$y = \sqrt {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}} $的导数.

解:首先确定函数的定义域

$$\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}} \geqslant 0$$

应用数学中的“穿针法”得函数的定义域为：

$$x \in ( - \infty ,1] \cup [2,3) \cup (4, + \infty )$$

函数的定义域划分为3部分，我们将在3个部分的定义域中分别求函数的导数；对函数的等号两边同时取对数来求导，此时要求$x∈(4+∞,)$，而$x∈(4+∞,)$正好是函数定义域的一部分，得：

$$\eqalign{ & \ln y = \frac{1}{2}[\ln \left( {x - 1} \right) + \ln \left( {x - 2} \right) - \ln \left( {x - 3} \right) - \ln (x - 4)] \cr & \frac{1}{y}y' = \frac{1}{2}(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 4}}) \cr & y' = \frac{y}{2}(\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 4}}) \cr} $$

由上式可知，$y'$在$x=1,x=2,x=3,x=4$处不可导，因此从定义域中删这几个点，得

$$x \in ( - \infty ,1) \cup (2,3) \cup (4, + \infty )$$

无论使用何种方法求导，$y'$都是相同的，上述是当$x∈(4,+∞)$的导数，

当$x∈(-∞,1) $时，$y = \sqrt {\frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)}}} $

当$x∈(2,3) $时，$y = \sqrt {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)}}} $