微分的定义

如果函数$y=f(x)$在点$x_0$可导，即

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'({x_0})$$

存在，根据第一章极限与无穷小的关系，上式可写成

$$\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = f'\left( {{x_0}} \right) + \alpha $$

$α$是$\Delta x \to 0$ 时的无穷小，即$α→0$($\Delta x \to 0$)，从而

$$\Delta y = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + \alpha \Delta x$$

根据第一章 有限个无穷小的乘积也是无穷小，$\alpha \Delta x$也是$\Delta x \to 0$时的无穷小，且

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\alpha \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \alpha = 0$$

所以

$$\alpha \Delta x = o(\Delta x)$$

即$\alpha \Delta x$是比$\Delta x$高阶的无穷小.由于

$$\Delta y = f\left( x \right) - f({x_0})$$

所以

$$\Delta y = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + \alpha \Delta x$$

又可以写成

$$f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + \alpha \Delta x$$

由于$\alpha \Delta x$是比$\Delta x$高阶的无穷小，当$\Delta x$很小时，$\alpha \Delta x$比$\Delta x$更小，因此，在忽略$\alpha \Delta x$不计时，

$$f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$$

其中$\Delta x = x - {x_0}$，所以

$$f(x)-f(x_0 )=f' (x_0 )(x-x_0)$$

上面的推导过程说明，如果函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，那么在$x_0$的邻域$U(x_0,\Delta x)$内函数的微小变化量可以近似地用过$x_0$的切线$f(x)-f(x_0 )=f' (x_0 )(x-x_0)$上的函数值的变化量表示，这意味着在$x_0$的邻域$U(x_0,\Delta x)$内用点$x_0$处的切线近似代替了曲线.

用直线(切线是直线)近似代替曲线后，通常把自变量的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作${\bf{d}} x$，即${\bf{d}}x = \Delta x$，与自变量的微分相对应的函数的变化量称为函数的微分，记作${\bf{d}}y$，即

$${\text{d}}y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right){\text{d}}x$$

注意：函数$y=f(x)$在$x_0$的邻域$U({x_0},\Delta x)$内可以用$x_0$处的切线近似代替，是因为对于自变量的增量$\Delta x$，用切线（直线）代替后计算出来的函数的微分${\text{d}}y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$与不用直线代替时函数的变化量$\Delta y = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x + \alpha \Delta x$之差的绝对值$\left| {\Delta y - {\text{d}}y} \right| = \alpha \Delta x$是比$\Delta x$高阶的无穷小，$\Delta x$很小时，$\left| {\Delta y - {\text{d}}y} \right| = \alpha \Delta x$更小，与$\Delta x$相比可以忽略不计.${{\text{d}}y}$中的${\text{d}}$是表示英语“微分”的单词differential的首字母.

在$x_0$的邻域$U({x_0},\Delta x)$内用$x_0$处的切线$f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x$近似代替函数$y=f(x)$后，函数的微分是

$${\text{d}}y = f'\left( {{x_0}} \right){\text{d}}x$$

$f'(x_0 )$是常值，${\text{d}}y$，${\text{d}}x$会变化，所以${\text{d}}y$是${\text{d}}x$的线性函数，类似于$y=ax$($a$是常数)表示$y$是$x$的线性函数.

当$f' (x_0 )≠0 $时，

$$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{{\text{d}}y}} = \mathop {{\text{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{f'\left( {{x_0}} \right){\text{d}}x}} = \mathop {{\text{lim}}}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{f'\left( {{x_0}} \right)\Delta x}} = 1$$

根据第一章等价无穷小的概念，$\Delta y$与${{{\text{d}}y}}$是$\Delta x$→0时的等价无穷小，有

$$ \Delta y = {\rm{d}}y + o\left( {{\rm{d}}y} \right) $$

也可以推导如下

$$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ \Delta y = f'\left( {x_0 } \right)\Delta x + \alpha \Delta x \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\alpha \Delta x} \over {{\rm{d}}y}} = \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\alpha \Delta x} \over {f'\left( {x_0 } \right)\Delta x}} \hfill \cr = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\alpha \over {f'\left( {x_0 } \right)}} = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \alpha \Delta x = o\left( {{\rm{d}}y} \right) \cr & \Delta y = {\rm{d}}y + o\left( {{\rm{d}}y} \right) \cr} $$

${{{\text{d}}y}}$很小时，$ο(\text{d}y)$比${{{\text{d}}y}}$更小，因此${{{\text{d}}y}}$是$\Delta y$的主要部分，简称主部.因为${{{\text{d}}y}}$是$\Delta x$的线性函数，所以我们说${{{\text{d}}y}}$是当$\Delta x$→0时$\Delta y$的线性主要部分（线性主部）：

$$\Delta y = {\text{d}}y + o\left( {{\text{d}}y} \right) = f'\left( {{x_0}} \right){\text{d}}x + o\left( {{\text{d}}y} \right)$$

因此$f'(x_0 )≠0$ 时，以微分${\bf{d}}y=f'(x_0 ){\bf{d}}x$近似代替$\Delta y=f(x)-f(x_0 )$时，其误差$ο({\bf{d}}y)$是比${\bf{d}}y$更高阶的无穷小.因此在$\Delta x$很小时，有近似等式

$$\Delta y \approx {\text{d}}y$$

总结：这一部分主要是讨论了函数$y=f(x)$在点$x_0$可导时，在$x_0$的邻域$U({x_0},\Delta x)$内可以用点$x_0$处的切线（直线）近似代替$y=f(x)$，代替之后函数的增量${\bf{d}}y$（函数的微分）与没有代替之前的实际增量$\Delta y$是$\Delta x$→0 时的等价无穷小，其误差$ο(\text{d}y)$是比${\bf{d}}y$更高阶的无穷小，因此在$\Delta x$很小时，$\Delta y \approx {\text{d}}y$，从“抓住主要部分，忽略次要部分”的角度讲，这样的代替“损失”不大.

 

函数可导推出函数的微分（可微），函数可微也可以推出函数可导.

例 求函数$y=x^2$在$x=1$和$x=3$处的微分.

解:$y'=2x，$

在$x=1$处的微分${\text{d}}y = y'{|_{x = 1}{\Delta}x} = 2{\text{d}}x$

在$x=3$处的微分${\text{d}}y = y'{|_{x = 3}{\Delta}x} = 6{\text{d}}x$

例2 求函数$y=x^3$当$x=2$,$\Delta x$=0.02时的微分.

解:$y'=3x^2$，当$x=2,\Delta x$=0.02时

$${\text{d}}y = y'\Delta x{|_{\begin{array}{*{20}{c}{\text{d}}x} {x = 2}\\ {\Delta x = 0.02} \end{array}}} = 3 \times 4 \times 0.02 = 0.24.$$