由参数方程所确定的函数的导数

不计空气阻力的抛射体运动轨迹可以表示为

\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {v_1}t,} \\ {y = {v_2}t - \frac{1}{2}g{t^2}.} \end{array}} \right.\ \end{equation}

$v_1、v_2$分别是抛射体的水平和铅直初速度分量，$g$是重力加速度，$t$是飞行时间，$x、y$分别是抛射体在铅直面上的位置的横坐标和纵坐标. $x$和$y$都与$t$存在函数关系.如果把对应于同一个$t$的$x$与$y$看作是对应的，这样就得到$x$与$y$之间的函数关系.消去$t$得：

$$y = \frac{{{v_2}}}{{{v_1}}}x - \frac{g}{{2{v_1}^2}}{x^2}$$

这就是由参数方程(1)所确定的函数的因变量$y$与自变量$x$之间的直接联系的显示表示.

一般地，若参数方程

\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \varphi (t),} \\ {y = \psi (t).} \end{array}} \right.\ \end{equation}

确定$y$与$x$之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(2)所确定的函数.

在实际问题中，需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但是从参数方程中消去参数有时会有困难. 因此，我们需要有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 下面来讨论这种方法.

我们要求参数方程(2)所确定的因变量$y$与自变量$x$之间的函数对$x$的导数.前面已经学习过初等函数、反函数及复合函数的求导法则，因此尽可能地将参数方程的求导转化为初等函数、反函数及复合函数的求导是我们的主要思路，而且复合函数和反函数的求导也最终转化为初等函数的求导，因此首先考虑能否将参数方程所确定的函数的求导转化为复合函数或反函数的求导，再最终转化为初等函数的求导.

在参数方程(2)中，如果函数$x=φ(t)$单调连续，根据第一章内容，它的反函数存在并且也单调连续，于是有$t=φ^{-1} (x)$，由于(2)式中$t$的定义域相等，因此$t=φ^{-1} (x)$与$y=ψ(t)$可以构成复合函数$y=ψ[φ^{-1} (x)]$；我们的问题就转化为求复合函数$y=ψ[φ^{-1} (x)]$关于$x$的导数，根据复合函数的求导法则，求$y=ψ[φ^{-1} (x)] $关于$x$的导数需要$t=φ^{-1}(x)$和$y=ψ(t)$都可导，$t=φ^{-1} (x)$是$x=φ(t)$的反函数，因此需要它的原函数$x=φ(t)$可导并且$φ'(t)≠0$，于是根据复合函数和反函数的求导法则，有

\[\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}t}} \cdot \frac{{{\text{d}}t}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}t}} \cdot \frac{1}{{\frac{{{\text{d}}x}}{{{\text{d}}t}}}} = \frac{{\psi '(t)}}{{\varphi '(t)}}\]

即

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{\psi '\left( t \right)}}{{\varphi '\left( t \right)}},其中x=φ(t)$$

 

参数方程所确定的函数$y=y(x)$的导数$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$也是关于$x$的函数，$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{\psi '\left( t \right)}}{{\varphi '\left( t \right)}}$中需要$x=φ(t)$将其代换为$x$的函数.

参数方程所确定的因变量y与自变量x的函数关于x的直接求导过程：

已知参数方程

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \varphi (t)} \\ {y = \psi (t)} \end{array}} \right.\]

1. 判断函数$x=φ(t)$在$t$的某个邻域内单调可导（因而连续），且导数$φ'(t)≠0,$

2. 判断函数$y=ψ(t) $在$t$的某个邻域内可导,

3. 求$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{\psi '(t)}}{{\varphi '(t)}}$,其中$x=φ(t).$

一阶导数依然是一个复合函数，如果$x=φ(t),y=ψ(t)$二阶可导，那么可以得到参数方程所确定的因变量$y$与自变量$x$的函数关于$x$的二阶导数公式$$\frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\left( {\frac{{\text{d}y}}{{\text{d}x}}} \right) = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}[\frac{{\psi '\left( t \right)}}{{\varphi '\left( t \right)}}]$$

例 计算由摆线的参数方程

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a(t - \sin t),} \\ {y = a(1 - \cos t).} \end{array}} \right.\]

所确定的函数$y=y(x)$的二阶导数.

解:

1.参数方程确定了函数$y=y(x)$且其二阶可导.

2.$x = a(t - \sin t)$是定义域在${\bf{R}}$上的三角函数，在${\bf{R}}$上可导（因而连续）但不是单调函数，如果我们将整个定义域${\bf{R}}$分为相等的区间$\left[ {2n\pi - \frac{\pi }{2},2n\pi + \frac{\pi }{2}} \right],n \in {{\bf{N}}^ + }$，那么在每一个小区间上，$x = a(t - \sin t)$都是单调可导（因而连续）的，在每一个小区间上利用参数方程所确定的函数的求导法则求导，得

$$\eqalign{ & \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}t}}}}{{\frac{{{\text{d}}x}}{{{\text{d}}t}}}} = \frac{{a\sin t}}{{a(1 - \cos t)}} = \frac{{\sin t}}{{1 - \cos t}} = \cot \frac{t}{2}(t \ne 2n\pi ,n \in {\bf{Z}}) \cr & \frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}(\cot \frac{t}{2}) \cdot \frac{{{\text{d}}t}}{{{\text{d}}x}} \cr & = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{\cos \frac{t}{2}}}{{\sin \frac{t}{2}}}} \right) \cdot \frac{{{\text{d}}t}}{{{\text{d}}x}} \cr & = - \frac{1}{{2{{\sin }^2}\frac{t}{2}}} \cdot \frac{1}{{a\left( {1 - \cos t} \right)}} \cr & = - \frac{1}{{a{{(1 - \cos t)}^2}}} \cr & (t \ne 2n\pi ,n \in {\bf{Z}}) \cr} $$