高阶导数

变速直线运动的瞬时速度$v(t)$是位移函数$s(t)$对时间$t$的导数，即：

$$v = \frac{{{\text{d}}s}}{{{\text{d}}t}}或v' = s'$$

为什么$v = \frac{{{\text{d}}s}}{{{\text{d}}t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s(t)}}{{\Delta t}}$是变速直线运动的动点在时刻$t$的瞬时速度的精确值？我们知道，瞬时速度就是$t$时刻的速度.对于匀速直线运动而言，任意时刻的瞬时速度等于任意时间间隔内的平均速度$\frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s(t)}}{{\Delta t}}$；对于变速直线运动而言，$\frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s(t)}}{{\Delta t}}$只是$t$时刻的瞬时速度的近似值，$\Delta t = t - {t_0}$越小，此值越接近$t$时刻的瞬时速度，当$t-t_0$越来越小，趋近零时，$\frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s(t)}}{{\Delta t}}$也应该越来越接近$t$时刻的瞬时速度，这个瞬时速度是一个确定的实数，这个实数是什么呢？这就归结为求极限$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s({t_0})}}{{t - {t_0}}}$，在微积分里，这个极限最终将归结为求基本初等函数在$t$处的极限，比如求$\sin'x,\cos'x$等；基本初等函数在其定义域内都是连续函数，在定义域内某点处的极限等于该点的函数值即直接代入$t=t_0$时的值，因此是瞬时速度的精确值.因此变速直线运动的瞬时速度是可以求出来的 (动点的运动学方程是初等函数) .

加速度$a$是速度$v$对时间$t$的变化率，即速度$v$对时间$t$的导数：

$$a = \frac{{{\text{d}}v}}{{{\text{d}}t}} = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{{\text{d}}s}}{{{\text{d}}t}}} \right)或s{''}(t)$$

所以直线运动的加速度就是位移函数$s$对时间$t$的二阶导数.

一般地，函数$y=f(x)$的导数$y'=f'(x)$仍然是$x$的函数.我们把$y'=f'(x)$的导数叫做函数$y=f(x)$的二阶导数，记作

$$y{''}或\frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}}$$ $$y'' = \left( {y'} \right)'或\frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}(\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}})$$

把$y=f(x)$的导数$f'(x)$叫做函数$y=f(x)$的一阶导数.二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数$，…，(n-1)$阶的导数叫做$n$阶导数，分别记作

$$y''',{y^{\left( 4 \right)}}, \ldots ,{y^{\left( n \right)}}$$

或

$$\frac{{{{\text{d}}^3}y}}{{{\text{d}}{x^3}}},\frac{{{{\text{d}}^4}y}}{{{\text{d}}{x^4}}}, \ldots ,\frac{{{{\text{d}}^n}y}}{{{\text{d}}{x^n}}}$$

几个初等函数的$n$阶导数.

例 $y={\bf{e}}^x，$求$y^n.$

解:

$$\eqalign{ & y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^{x + \Delta x}} - {{\bf{e}}^x}}}{{\Delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^x}({{\bf{e}}^{\Delta x}} - 1)}}{{\Delta x}} \cr & = {{\bf{e}}^x}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} \cr} $$

设${{\bf{e}}^{\Delta x}} - 1 = t;\Delta x \to 0,t \to 0$

$${{\bf{e}}^{\Delta x}} = 1 + t$$

上式两边取对数得：

$$\eqalign{ & \Delta x = \ln (1 + t) \cr & {{\bf{e}}^x}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} \cr & = {{\bf{e}}^x}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\ln (1 + t)}} \cr & = {{\bf{e}}^x}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{\frac{1}{t}\ln (1 + t)}} \cr & = {{\bf{e}}^x}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{\ln {{(1 + t)}^{\frac{1}{t}}}}} \cr & = {{\bf{e}}^x}\frac{1}{{\ln {\bf{e}}}} = {{\bf{e}}^x} \cr & y'' = {{\bf{e}}^x},{y^n} = {{\bf{e}}^x}. \cr} $$

 

例 $y= \sin x$，求$y^n.$

解:$y' = \cos x$,$\cos x$是$\sin x$的图像向左平移${\text{}}\frac{\pi }{2}$得到的，所以

$$\eqalign{ & y' = \cos x = \sin (x + \frac{\pi }{2}) \cr & y'' = - \sin x = \sin (x + \pi ) = \sin (x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}) \cr & y''' = - \cos x = \sin (x + 3 \cdot \frac{\pi }{2}) \cr & ... \cr & {y^n} = \sin (x + n \cdot \frac{\pi }{2}) \cr} $$

例 $y= \cos x,$求$y^n.$

解:$y'= - \sin x$,因为原函数是余弦函数，所以利用函数图象向右平移的原理，将$- \sin x$转换成余弦的形式

$$\eqalign{ & - \sin x = \cos (x + \frac{\pi }{2}) \cr & y'' = - \cos = \cos (x + 2 \cdot \frac{\pi }{2}) \cr & ... \cr & {y^n} = \cos (x + n \cdot \frac{\pi }{2}) \cr} $$

例 求函数$y = \ln (1 + x)$的$n$阶导数.

解:

$$y' = \frac{1}{{1 + x}},y'' = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)' = [{(1 + x)^{ - 1}}]' = - \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}$$

一般地，

$${[\ln (1 + x)]^{(n)}} = {( - 1)^{n - 1}}\frac{{({\text{n}} - 1)!}}{{{{(1 + x)}^n}}}$$

规定$0!=1$，所以这个公式当$n$=1时也成立.

如果函数$u=u(x),v=v(x)$都在点$x$具有$n$阶导数，那么显然$u(x)±v(x)$也在点$x$处具有$n$阶导数，且

$${(u \pm v)^{(n)}} = {u^{(n)}} \pm {v^{(n)}}$$

我们来求解$u\left( x \right) \cdot v(x)$的$n$阶导数.

$$\left( {uv} \right)' = u'v + uv'$$ $$\eqalign{ & \left( {uv} \right)'' = \left( {u'v + uv'} \right)' = (u'v)' + (uv')' \cr & = u''v + u'v' + u'v' + uv'' = u''v + 2u'v' + uv'' \cr & \left( {uv} \right)''' = u'''v + u''v' + 2u''v' + 2u'v'' + u'v'' + uv''' \cr & = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''' \cr} $$

简化得：

$$\eqalign{ & \left( {uv} \right)' = u'v + uv' \cr & \left( {uv} \right)'' = u''v + 2u'v' + uv'' \cr & \left( {uv} \right)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''' \cr & ... \cr} $$

用数学归纳法证明得：

$$\eqalign{ & {(uv)^{(n)}} = {u^{(n)}}v + n{u^{(n - 1)}}v' + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{u^{(n - 2)}}v' + \ldots \cr & + \frac{{n\left( {n - 1} \right) \ldots \left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}{u^{\left( {n - k} \right)}}{v^{\left( k \right)}} + \ldots + u{v^{\left( n \right)}} \cr} $$

即

$${(u + v)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{u^{n - k}}{v^k}$$

把上式中$k$次幂换成$k$阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的$u+v$换成$uv$，得莱布尼兹公式：

$${(uv)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{u^{n - k}}{v^k}$$