当外力作用在静止质量为${m_0}$的自由质点上时，质点每经历位移${\text{d}}s$，其动能的增量是${\text{d}}{E_{\text{k}}} = F \cdot {\text{d}}s$，如果外力与位移同方向，则上式成为${\text{d}}{E_{\text{k}}} = F{\text{d}}s$
设外力作用于质点的时间为${\text{d}}t$，则质点在外力冲量$F{\text{d}}t$的作用下，其动量增量是${\text{d}}p = F{\text{d}}t$，考虑到
$$v = \frac{{{\text{d}}s}}{{{\text{d}}t}}$$上两式相除，即得质点的速度表达式为
$$v = \frac{{{\text{d}}{E_{\text{k}}}}}{{{\text{d}}p}}$$亦即
$$\eqalign{ & {\text{d}}{E_{\text{k}}} = v{\text{d}}p = v{\text{d}}\left( {mv} \right) \cr & = v\left( {m{\text{d}}v + v{\text{d}}m} \right) = {v^2}{\text{d}}m + mv{\text{d}}v \cr} $$根据洛伦兹变换（狭义相对论），得质量的变换公式为
$$m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}$$两边平方得
$${m^2}\left( {{c^2} - {v^2}} \right) = m_0^2{c^2}$$对速度v求导：得
$$\frac{{{\text{d}}\left[ {{m^2}\left( {{c^2} - {v^2}} \right)} \right]}}{{{\text{d}}v}} = \frac{{{\text{d}}\left( {m_0^2{c^2}} \right)}}{{{\text{d}}v}}$$注意到等式右边为0，即上式可化为
$$\eqalign{ & {m^2}\frac{{{\text{d}}\left( {{c^2} - {v^2}} \right)}}{{{\text{d}}v}} + \frac{{{\text{d}}{m^2}}}{{{\text{d}}v}}\left( {{c^2} - {v^2}} \right) = 0 \cr & - 2v{m^2} + 2m\left( {{c^2} - {v^2}} \right)\frac{{{\text{d}}m}}{{{\text{d}}v}} = 0 \cr & vm{\text{d}}v = \left( {{c^2} - {v^2}} \right){\text{d}}m = {c^2}{\text{d}}m - {v^2}{\text{d}}m \cr & vm{\text{d}}v + {v^2}{\text{d}}m = {c^2}{\text{d}}m \cr} $$代入上式得
$${\text{d}}{E_{\text{k}}} = {c^2}{\text{d}}m$$上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能${E_{\text{k}}}$都在增加，质量的增量${\text{d}}m$和动能的增量${\text{d}}{E_{\text{k}}}$之间始终保持${\text{d}}{E_{\text{k}}} = {c^2}{\text{d}}m$所示的量值上的正比关系.
当$v = 0$时，质量$m = {m_0}$，动能${E_{\text{k}}} = 0$
据此，将上式积分，即得
$${E_{\text{k}}} = \int_{{m_0}}^m {{c^2}{\text{d}}m} = m{c^2} - {m_0}{c^2}$$上式是相对论中的动能表达式.爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把${m_0}{c^2}$叫做物体的静止能量，把$m{c^2}$叫做运动时的能量，我们分别用${E_{\text{0}}} = {m_0}{c^2}$和$E = m{c^2}$表示.
路易•维克多•德布罗意，法国物理学家，法国外交和政治世家布罗意公爵家族的后代，路易的哥哥摩里斯•德布罗意（Maurice de Broglie）后来也成为一位很有成就的物理学家.路易天资聪颖，有惊人的记忆力.他读书能够过目不忘.在法文、历史、物理、哲学、这些不同的领域，他都能得到很好的成绩.
中学毕业后，他进入了极具声誉的索邦大学就读.那时，他并不清楚应该主修哪个科目.最初，他选择了历史.后来，又转为主修法律.一直到他读了昂利•庞加莱的两本巨著，《科学和假设》与《科学的价值》，他才认知物理学是他的最爱，开始专心研读理论物理.1913年，他得到了学士学位.
1914年，第一次世界大战爆发.德布罗意正在陆军服役.刚开始，他被派到Fort Mont-Valérien当坑道工兵.很快地，性情活泼的他，对于这刻板僵硬，缺乏变化的生活，觉得枯燥无味，难以忍受.经过哥哥运用人脉关系，他被转派去埃菲尔铁塔的陆军无线电部门做通讯兵.闲暇时间，还可以思考关于无线电的技术问题.对于日后的科学研究有很多实用价值.
1919年，退役后，德布罗意又回返索邦大学，继续先前的理论物理研究，立志拿到博士学位.他参加了保罗•朗之万主讲的一个关于量子理论的专题讨论会，又修了一堂关于相对论的课.那时，哥哥摩里斯正在研究X射线光谱和光电效应.他时常在哥哥的实验室里帮忙，兄弟两人共同发表了几篇论文.
1923年德布罗意非常聪明地将粒子和波的概念结合在了一起，他受到爱因斯坦的光的粒子性的影响，德布罗意写到，在经过长期的思考后，1923年我突然有了一个注意，爱因斯坦在1905年发现的光子理论应该推广到所有物质微粒，尤其是著名的电子.在20世纪早期，物理学家使用电子或质子这些微粒以及电磁辐射，比如光，紫外辐射等来解释物理现象.粒子是形成原子和分子的可见的、离散的个体，但是电磁辐射被认为是包含了变化的电场和磁场的波动，这种对物理世界的传统的看法被爱因斯坦的工作改变了，爱因斯坦发现的相对论显示物质本身是一种能量.解释光电效应时，爱因斯坦认为，电磁辐射，一种波动，也能表现出粒子（光子）的特性.
德布罗意受到爱因斯坦的影响，提出建议说，就像波可以表现出粒子的行为一样，例如电子也能表现出波动的行为，根据爱因斯坦的相对论，有
德布罗意这样总结他的发现：因为大家熟知的作为波动的光子也是一种粒子，那么为什么电子（或其他任何物质粒子）就不能也是一种波呢？尽管这在今天看起来非常具有逻辑性，但是对德布罗意来说却需要相当的勇气，正如诺贝尔委员会给出的评语所说的：在你还十分年轻时，你就将自己投身于物理学中最深入的问题的论战中，在没有任何证据支持的情况下，你大胆地宣称，物质不仅有粒子的属性，也具有波动的属性， 之后的实验证实了你的观点的正确性.
德布罗意波可以解释玻尔模型，如果我们来将电子看做波，我们要改变轨道的概念，我们可以用一种绕圈的线状波来绕着原子核的微粒，现在，这种波能够存在的方法是波长要等于圈的长度，整数倍的波长等于圈的长度也可以，但是半个就不行.因此就只允许电子有特定大小的运动轨道.
玻尔模型十分不合理.
当然，由于电子具有波动性，而电子和原子核之间的吸引力可以将电子束缚起来，那么也相当于力将波束缚起来，这种波无法发射出去，最终反过来作用于电子，使其产生简谐振动也是合理的.
德布罗意波是怎么解释玻尔模型？
德布罗意设想，因为光具有粒子和波的特性，因此物质具有粒子和波的特性也是正确的.因为物质已经被假定为粒子，因此只需要寻找物质的波的特性来补充已知的粒子特性.由于运动的粒子同时具有波粒二象性，因此粒子的波不是标准的波的形式，而是具有离散的波长.这种思想在当时能同时满足光的波粒二象性，也非常漂亮地与玻尔的原子模型相符合.德布罗意在1929年的诺贝尔奖授奖演说中更进一步地解释了他对于物质的波粒二象性的理由， 一方面，由于光粒子（光子）的能量是由包含频率f的等式E=hf定义的，因此光的量子理论不能认为是满意的.现今，一个纯粹的粒子理论不包含任何频率的信息，因此使我们去定义一个频率，因此对照光的例子，去介绍一种同时具有频率的粒子的想法（p=h/λ=hf）；另一方面，使原子中的电子保持稳定运动需要引入整数，而在物理学中仅有的包含整数的现象是（波）的干涉现象和振动，这使我认为电子不能简单地看做是粒子，频率也必须分配给他们.
不确定性原理是由微观粒子的波粒二象性决定的，与测量工具、测量时的外界干扰无关. 所谓不确定，是指不能同时任意精确地知道或预测微观粒子的某一对特定物理量的值（比如位置和速度）.
1.使电子束通过一个很小的狭缝，从而将电子的位置范围限定得比较小，由于电子同时具有波动特性，电子将产生衍射现象，因此下一时刻电子可能向很多方向运动，从而这个时刻的速度不是精确值，而是一个范围.
2.为了比较精确地预测电子的动量（将电子的动量限定在一个较小的范围内），由于电子同时具有波动性，则在产生衍射现象时需将电子经过的狭缝扩大，使衍射现象不明显，此时电子的位置范围将变大，从而增加位置的不确定性.
我们很容易错误地认为不确定性原理是由测量时产生的外界干扰引起的，从而认为改善测量方法、提高测量精度等可以减小不确定性.实际上，不确定性原理是由微观粒子的波粒二象性决定的（如上1，2的分析）.
Magnetic dipole moment磁偶极矩
待续...