空间曲线$\Gamma $的参数方程为

\[\left\{ \begin{gathered} x = \varphi \left( t \right), \hfill \\ y = \phi \left( t \right), \hfill \\ z = \omega \left( t \right), \hfill \\ \end{gathered} \right.t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]\]

曲线上的点关于原点O的向径，记为

\[\begin{gathered} r = xi + yj + zk,f\left( t \right) = \hfill \\ \varphi \left( t \right)i + \phi \left( t \right)j + \omega \left( t \right)k \hfill \\ \end{gathered} \]

则曲线成为向量方程

$$r = f\left( t \right),t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$$

向量方程确定了一个映射：$f:\left[ {\alpha ,\beta } \right] \to {{\text{R}}^3}$.由于这个映射将每一个$t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$映成一个向量$f\left( t \right) \in {{\text{R}}^3}$，故称这映射为一元向量值函数.

定义 设数集$D \subset \text{R}$，则称映射$f:D \to {{\text{R}}^n}$为一元向量值函数，通常记为

$$r = f\left( t \right),t \in D$$

其中数集D称为函数的定义域，$t$称为自变量，$r$称为因变量.

把普通的实值函数称为数量函数.可以类似定义数量函数的极限、连续，导数等概念的形式定义向量值函数的相应概念.

设向量值函数$f\left( t \right)$在点${t_0}$的某一邻域内有定义，若

$$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} f\left( t \right) = f\left( {{t_0}} \right)$$

则称向量值函数$f\left( t \right)$在点${t_0}$连续.

设向量值函数$f\left( t \right),t \in D$.若${D_1} \subset D,f\left( t \right)$在${D_1}$中的每一点处都连续，则称$f\left( t \right)$在${D_1}$上连续，并称$f\left( t \right)$是${D_1}$上的连续函数.

上面的概念中， $f\left( t \right)$不是在定义域D上的连续函数，而是D的子集${D_1}$.这保证了$f\left( t \right)$在${D_1}$上的每一点都连续，即${D_1}$是开区间.因为定义域D可能是闭区间，而闭区间的端点无法满足连续性定义中的“点${t_0}$的某一邻域内有定义”.