定义 设二元函数$f\left( P \right) = f\left( {x,y} \right)$的定义域为D，${P_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$是D的聚点.如果存在常数A，对于任意给定的正数$\varepsilon $，总存在正数$\delta $，使得当点$P\left( {x,y} \right) \in D \cap \mathop U\limits^{\text{o}} \left( {{P_0},\delta } \right)$时，都有
$$\left| {f\left( P \right) - A} \right| = \left| {f\left( {x,y} \right) - A} \right| < \varepsilon $$成立，那么就称常数A为函数$f\left( {x,y} \right)$当$\left( {x,y} \right) \to \left( {{x_0},{y_0}} \right)$时的极限，记作
$$\mathop {\lim f\left( {x,y} \right)}\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {{x_0},{y_0}} \right)} = A$$或
$$f\left( {x,y} \right) \to A\left( {\left( {x,y} \right) \to \left( {{x_0},{y_0}} \right)} \right)$$也记作
$$\mathop {\lim f\left( P \right)}\limits_{P \to {P_0}} = A$$或
$$f\left( P \right) \to A\left( {P \to {P_0}} \right)$$二元函数的极限叫做二重极限.
所谓二重极限存在，是指$P\left( {x,y} \right)$以任何方式趋于${P_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$时，$f\left( {x,y} \right)$都无限接近于A.
注意，任意方式不一定是任意的.比如对于边界上的点的极限，任何方式只限于边界和边界一侧在定义域内的任意路径.对于曲线上的点的极限，任何方式就只是该点两侧的曲线上的路径，也就是说，要注意条件$P\left( {x,y} \right) \in D \cap \mathop U\limits^{\text{o}} \left( {{P_0},\delta } \right)$