向量与数的乘积
向量$a$与实数$λ$的乘积记作$λa$，规定$λa$是一个向量，它的模
$$|λa|=|λ||a|,$$它的方向当$λ>0$时与$a$相同，当$λ<0$时与$a$相反.
模等于1的向量叫做单位向量.设$e_a$表示与非零向量$a$相方向的单位向量，按照数乘的规定，由于$|a|>0$，所以$|a| e_a$与$e_a$的方向相同，即$|a| e_a$与$a$的方向相同.又因为$|a| e_a$的模
$$\left| a \right|\left| {{e_a}} \right| = \left| a \right| \cdot 1 = \left| a \right|$$即$|a| e_a$与$a$的模也相同，因此
$$a=|a| e_a.$$规定，当${\lambda } \ne 0$时，$\frac{a}{{\lambda }} = \frac{1}{{\lambda }}a$.则上式又可写成
$$\frac{a}{{|a|}} = {e_a}.$$这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
那么，当$λ=0=|a|$，即$a$是零向量时，
$$\frac{a}{{|a|}} = {e_a}$$将有怎么样的表现？能否由上式确定零向量的单位向量的模和方向？
设$|β|$是$t→0$时的无穷小，则
$$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} |\frac{\beta }{{\left| \beta \right|}}| = \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to 0} \frac{{|\beta |}}{{\left| \beta \right|}} = 1 = |{e_\beta }|$$由此可见，$t→0$时，$β$是零向量，与它同向的单位向量的模等于1，由于零向量的方向不确定，因此与它同向的单位向量的方向也是不确定的.
我们还可以得出结论：与任何向量同方向的单位向量的模都等于1.这也印证了单位向量的定义，即模等于1的向量叫做单位向量.