高阶线性微分方程

这里以二阶线性微分方程的性质及其解法为主讨论高阶线性微分方程.

方程

$$\frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}} + P\left( x \right)y' + Q\left( x \right)y = f(x)$$

叫做二阶线性微分方程，当$f(x)=0$时，方程是二阶的齐次线性微分方程；当$f(x)≠0$时，方程是二阶的非齐次线性微分方程.

$n$阶线性微分方程为

$${y^{(n)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \ldots $$ $$+ {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = f(x)$$

在讨论求二阶线性微分方程的解之前，先来讨论二阶线性微分方程的解的性质.

高阶线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性微分方程

$${\text{y''}} + P\left( x \right)y' + Q\left( x \right)y = 0$$

定理 如果函数$y_1 (x)$与$y_2 (x)$是二阶齐次线性微分方程

$$y{\text{''}} + P\left( x \right)y' + Q\left( x \right)y = 0$$

的两个解，则

$$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$$

也是二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的解，其中$C_1 、C_2$是任意常数.

证明：将$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$带入方程，恒等式成立，故得证.

解$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$中虽然含有两个任意常数$C_1 、C_2$，但它不一定是方程的通解，例如，$k_2 y_2 (x)=k_1 y_1 (x)$时， $y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$就成为

$$y = {C_1}{y_1}\left( x \right) + \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}{C_2}{y_1}\left( x \right) $$ $$= \left( {{C_1} + \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}{C_2}} \right){y_1}\left( x \right),$$ $$(k_1,k_2 是任意常数，且k_2≠0)$$

令$C = {C_1} + \frac{{{k_1}}}{{{k_2}}}{C_2}，$则$y=Cy_1 (x)$，这显然不是二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的通解.上面的分析中，我们设$k_2 y_2 (x)=k_1 y_1 (x)$，即$k_1 y_1 (x)-k_2 y_2 (x)=0$，若$k_2 y_2 (x)≠k_1 y_1 (x)$，则

$$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$$

的右端无法合并，从而

$$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x)$$

就是二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的通解.

我们来引入函数组的线性相关与线性无关的概念.

设$y_1 (x),y_2 (x),…,y_n (x)$是定义在区间$I$上的$n$个函数，如果存在$n$个不全为零的常数$k_1,k_2,…,k_n，$使得当$x∈I$时有恒等式

$$k_1 y_1+k_2 y_2+...+k_n y_n≡0$$

成立，则这$n$个函数在区间$I$上线性无关，否则线性无关.

例如，函数$\sin x,\cos x,1$是线性相关的，因为取$k_1=1,k_2=k_3=-1$，就有

$$1 - {\text{si}}{{\text{n}}^2}x - {\text{co}}{{\text{s}}^2}x \equiv 0$$

恒成立.

而函数$x$，$x{{\text{e}}^2}$在任何区间$(a,b)$内都是线性无关的.

定理 如果$y_1 (x)$与$y_2 (x)$是二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的两个线性无关的特解，那么

$$y=C_1 y_1 (x)+C_2 y_2 (x),$$ $$(C_1 、C_2 是任意常数)$$

就是二阶齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的通解.

推论 如果$y_1 (x),y_2 (x),…,y_n (x)$是$n$阶齐次线性微分方程

$${y^{(n)}} + {a_1}\left( x \right){y^{\left( {n - 1} \right)}} + \ldots $$ $$+ {a_{n - 1}}\left( x \right)y' + {a_n}\left( x \right)y = 0$$

的$n$个线性无关的特解，那么此方程的通解为

$$y = {C_1}{y_1}\left( x \right) + {C_2}{y_2}\left( x \right) + \ldots + {C_n}{y_n}\left( x \right)$$

其中$C_1,C_2,…,C_n$为任意常数.

一阶线性微分方程的通解由对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，实际上，二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有相同的结构.

定理 设$y^* (x)$是二阶非齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$$

的一个特解，$Y(x)$是与该方程对应的齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$

的通解，则

$$y=Y(x)+y^* (x)$$

是二阶非齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$$

的通解.

定理 设二阶非齐次线性微分方程

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$$

的右端$f(x)$是两个函数之和，即

$$y''+P(x) y'+Q(x)y=f_1 (x)+f_2 (x)$$

$y_1^* (x)$与$y_2^* (x)$分别是方程

$$\eqalign{ & y{\text{''}} + P\left( x \right)y' + Q\left( x \right)y = {f_1}\left( x \right) \cr & y{\text{''}} + P\left( x \right)y{\text{'}} + Q\left( x \right)y = {f_2}(x) \cr} $$

的特解，那么$y_1^* (x)+y_2^* (x)$是原方程的特解.