可以降阶的高阶微分方程

前面讨论的都是一阶微分方程，解法是将其化为可分离变量的微分方程，或将非齐次的化为齐次的，再分离变量，遵循的是将复杂化为简单，将困难化为容易的法则.同样的，本节将把高阶微分方程降为低阶微分方程.

能够降阶的高阶微分方程并不多，下面是几种可以降阶的高阶微分方程的求解方法.

一、$y^{(n)}=f(x)$型微分方程

对于微分方程

$${y^{(n)}} = f(x)$$

两端积分，得

$${y^{(n - 1)}} = \int {f(x){\text{d}}x + {C_1}} $$

同理，

$${y^{(n - 2)}} = \int {\int {f(x){\text{d}}x + {C_1}]} } + {C_2}$$

积分$n$次后，便可以得到含有$n$个任意常数的微分方程的通解.

二、$y''=f(x,y')$型微分方程

对于微分方程

$$y'' = f(x,y')$$

设$y'=p$，则原方程化为

$$p'=f(x,p)$$

这是一个关于变量$p，x$的一阶微分方程，若此方程式可分离变量的，通解为

$$p=φ(x,C_1)$$

又$y' = p \Rightarrow p = \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = \varphi (x,{C_1})$$

两端积分，得

$${\text{y}} = \int {\varphi (x,{C_1}){\text{d}}x} + {C_2}$$

三、$y''=f(y,y')$型微分方程

对于微分方程

$$y''=f(y,y')$$

令$y'=p$，注意$p$是关于$x$的变量，由复合函数的求导法则，有

$$y'' = \frac{{{\text{d}}p}}{{{\text{d}}x}} = \frac{{{\text{d}}p}}{{{\text{d}}y}} \cdot \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = p\frac{{{\text{d}}p}}{{{\text{d}}y}}$$

于是方程化为

$$p\frac{{{\text{d}}p}}{{{\text{d}}y}} = f(y,p)$$

若此方程可分离变量，且通解为

$$y' = p = \varphi (y,{C_1})$$

若此方程也可以分离变量，两端积分得原方程的通解

$$\int {\frac{{{\text{d}}y}}{{\varphi (y,{C_1})}}} = x + {C_2}$$