伯努利方程

一阶微分方程

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + P\left( x \right)y = Q\left( x \right){y^n},(n \ne 0,1)$$

叫做伯努利（Bernoulli）方程.当$n=0$或$n=1$时，该方程是线性微分方程.当$n≠0,1$时，该方程不是线性的，但是可以通过变量代换，将其化为线性的：

方程两端除以$y^n$，得

$${y^{ - n}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + P\left( x \right){y^{1 - n}} = Q(x)$$

上式中，${y^{ - n}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$与$\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\left( {{y^{1 - n}}} \right) = (1 - n){y^{ - n}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$只相差一个系数$1-n$，上式两端乘以$1-n$得

$$(1 - n){y^{ - n}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} + (1 - n)P\left( x \right){y^{1 - n}} $$ $$= (1 - n)Q(x)$$

引入新变量$z = {y^{1 - n}}$

有

$$\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}x}} = (1 - n){y^{ - n}}\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}}$$

则

$$\frac{{{\text{d}}z}}{{{\text{d}}x}} + \left( {1 - n} \right)P\left( x \right)z = \left( {1 - n} \right)Q\left( x \right)$$

这个方程式可以分离变量的，求出此方程的通解后，以$y^{1-n}$代替$z$就得到伯努利方程的通解了.