可分离变量的一阶微分方程

一阶微分方程

$$y' = f(x,y)$$

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：

$$P\left( {x,y} \right){\text{d}}x + Q\left( {x,y} \right){\text{d}}y = 0,$$

例如，一阶微分方程

$$y' = \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 3x$$

可以写成

$$3x{\text{d}}x - {\text{d}}y = 0$$

一阶微分方程

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 2xy$$

可以写成

$$2xy{\text{d}}x - {\text{d}}y = 0$$

在方程

$$P\left( {x,y} \right){\text{d}}x + Q\left( {x,y} \right){\text{d}}y = 0$$

中，变量$x$与$y$对称，因此方程既可以看作是以$x$为自变量，$y$为因变量的方程

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = - \frac{{P\left( {x,y} \right)}}{{Q\left( {x,y} \right)}},(Q\left( {x,y} \right) \ne 0)$$

也可以看作是以$y$为自变量，$x$为因变量的方程

$$\frac{{{\text{d}}x}}{{{\text{d}}y}} = - \frac{{Q\left( {x,y} \right)}}{{P\left( {x,y} \right)}},(P\left( {x,y} \right) \ne 0)$$

上面式子中之所以使用字母$P，Q$，而不使用$M,N$等其它字母，可能是因为$P$是多项式的英文polynomial的第一个字母，$Q$是字母表中$P$的下一个字母，此外$Q$还是商的英文quotient的第一个字母，且在微分方程中，$P，Q$是商的关系，即$\frac{{Q\left( {x,y} \right)}}{{P\left( {x,y} \right)}}$或$\frac{{P\left( {x,y} \right)}}{{Q\left( {x,y} \right)}}$ ，这两个字母可以任意选择.

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

的形式，即将一阶微分方程写成一端只含有$y$的函数和${\text{d}}y$，另一端只含有$x$的函数和${\text{d}}x$，那么原方程就称为可分离变量的一阶微分方程.

若函数$g(y)$和$f(x)$在区间$I$上是连续的，设函数$y=φ(x)$是一阶微分方程

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

的解，将它代入方程，得恒等式

$$g\left( {\varphi (x)} \right){\text{d}}\varphi (x) = f(x){\text{d}}x$$

即

$$g\left( {\varphi (x)} \right)\varphi '(x){\text{d}}x = f(x){\text{d}}x$$

两端积分，得

$$\mathop \smallint \nolimits^ g\left( {\varphi (x)} \right)\varphi '(x){\text{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ f(x){\text{d}}x$$

由$y=φ(x)$引入变量$y$，得

$$\mathop \smallint \nolimits^ g\left( y \right){\text{d}}y = \mathop \smallint \nolimits^ f(x){\text{d}}x$$

设$G(y)$及$F(x)$分别是$g(y)$和$f(x)$的原函数，则

$$G\left( y \right) = F\left( x \right) + C$$

因此，方程$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$的解$y=φ(x)$满足$G(y)=F(x)+C$.相反，如果$y = \phi (x)$是方程

$$G(y)=F(x)+C$$

所确定的隐函数，则由隐函数的求导法则，

$$\phi '\left( x \right) = \frac{{F'\left( x \right)}}{{G'\left( y \right)}} = \frac{{f(x)}}{{g\left( y \right)}}$$

这就表示函数$y = \phi (x)$满足方程

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

因此，如果已分离变量的一阶微分方程

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

中，函数$g(y)$和$f(x)$在区间$I$上是连续的，且$g(y)≠0$，那么微分方程两端积分后得到的关系式

$$G(y)=F(x)+C$$

就以隐函数的形式给出了微分方程的解，我们将这个解叫做一阶微分方程

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

的隐式解，且这个解是它的通解，所以

$$G(y)=F(x)+C$$

也称为一阶微分方程

$$g\left( y \right){\text{d}}y = f(x){\text{d}}x$$

的隐式通解.

例 求一阶微分方程

$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 3{x^2}{y}$$

的通解.

解:

$$\frac{{{\text{d}}y}}{y} = 3{x^2}{\text{d}}x$$

两端积分

$$\int {\frac{{{\text{d}}y}}{y}} = \int {3{x^2}{\text{d}}x} $$

得

$${\text{ln}}\left| {y} \right| = {x^3} + {C_1}$$

从而

$$\left| {y} \right| = {{\text{e}}^{{x^3} + {C_1}}}$$ $$y = \pm {{\text{e}}^{{x^3} + {C_1}}} = \pm {{\text{e}}^{{x^3}}} \cdot {{\text{e}}^{{C_1}}} = \pm {{\text{e}}^{{C_1}}} \cdot {{\text{e}}^{{x^3}}}$$

因为$ \pm {{\text{e}}^{{C_1}}}$是非零的任意常数，且$y=0$也是方程的解，因此方程的通解为

$$y= C{{\text{e}}^{{x^3}}}$$