微分方程的基本概念
函数关系是客观事物之间相互联系的数量方面的反映.在许多问题中，我们不能直接找出所需要的函数关系，但是可以列出含有要找出的函数的导数的关系式.这样的关系式就是所谓的微分方程.通过微分方程，求解出未知函数，就是解微分方程.
例 曲线$l$通过点$(2,3)$，且曲线上任意一点$M(x,y)$处的切线的斜率为$3x$，求曲线$l$的方程.
解:设曲线$l$的方程为$y=φ(x)$，根据导数的几何意义，可知未知函数$y=φ(x)$满足关系式
\begin{equation} \frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 3x. \end{equation}且由题意，$x=2$时，$y=3.$
对$(1)$式两端求不定积分，得
$$y = \int {3x{\text{d}}x} $$即
$$y = \frac{3}{2}{x^2} + C.$$将$x=2$时，$y=3$代入上式，得
$$\eqalign{ & 3 = \frac{3}{2} \times {2^2} + C \cr & C = 3 - \frac{3}{2} \times {2^2} = - 3 \cr} $$则所求曲线$l$的方程为
$$y = \frac{3}{2}{x^2} - 3.$$例子中的关系式$(1)$含有未知函数的导数，是微分方程.一般地，表示未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时简称方程.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶数.例如方程$(1)$是一阶微分方程.方程
$$x^5 y'''+x2 y''+2xy'=5x^2$$是三阶微分方程；方程
$${y^{(4)}} - 2y''' - 6y' + y = 2\sin x$$是四阶微分方程.
一般地，$n$阶微分方程的形式是：
$$F\left( {x,y,y', \ldots ,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0$$注意，方程中$y^{(n) }$必须出现，而$x,y,y',…,y^{(n-1) }$不一定出现.例如$n$阶微分方程
$${y^{\left( n \right)}} + 2 = 0$$中，除了$y^{(n) }，x,y,y',…,y^{(n-1) }$都没有出现.
如果能从$n$阶微分方程$F(x,y,y',…,y^{(n)})=0$中解出最高阶导数，则可得微分方程
$${y^{\left( n \right)}} = f(x,y,y', \ldots ,{y^{\left( {n - 1} \right)}})$$我们以后讨论的微分方程都是已经解出最高阶导数的微分方程或能解出最高阶导数的微分方程.
从上面的例子可知，解微分方程就是找出这样的函数，把该函数代入微分方程后能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该微分方程的解.即，设函数$y=φ(x)$在区间$I$上有$n$阶连续导数，如果在区间$I$上，
$$F\left[ {x,\varphi \left( x \right),\varphi '\left( x \right), \ldots ,{\varphi ^{\left( n \right)}}\left( x \right)} \right] \equiv 0$$则函数$y=φ(x)$就叫做微分方程$F(x,y,y',…,y^{(n) } )=0 $在区间$I$上的解.
$$F\left( {x,y,y', \ldots ,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0$$如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同（这些常数相互独立，不能合并），这样的解叫做微分方程的通解.例如
$$y = \frac{3}{2}{x^2} + C $$是
$$\frac{{{\text{d}}y}}{{{\text{d}}x}} = 3x$$的通解.确定了通解中的任意常数后的解叫做微分方程的特解.
对于具体问题，除了求出微分方程的通解，还需要解出任意常数的具体数值.设微分方程中的未知函数为$y=φ(x)$，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件通常是
$x=x_0$时，$y=y_0$
如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件通常是
$x=x_0$时，$y=y_0$，$y'=y'_0$
上述这种条件叫做微分方程的初始条件.
确定了通解中的任意常数以后的函数，叫做微分方程的特解.
求微分方程的特解的问题，叫做微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.一阶微分方程的初值问题的几何意义，是求微分方程通过点$(x_0,y_0)$的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题的几何意义，是求二阶微分方程的通过点$(x_0,y_0)$，且在该点处的切线斜率为$y'_0$的那条积分曲线.
例 验证函数
$$x = {C_1}\cos t + {C_2}\sin t$$是二阶微分方程
$$\frac{{{{\text{d}}^2}x}}{{{\text{d}}{t^2}}} + x = 0$$的通解.
解:
$$\frac{{{\text{d}}x}}{{{\text{d}}t}} = - {C_1}\sin t + {C_2}\cos t$$ \begin{equation} \eqalign{ & \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{{\text{d}}x}}{{{\text{d}}t}}} \right) = \frac{{{{\text{d}}^2}x}}{{{\text{d}}{t^2}}} \cr & = - {C_1}\cos t - {C_2}\sin t \cr} \end{equation}把$(2)$式及$x$代入二阶微分方程
$$\frac{{{{\text{d}}^2}x}}{{{\text{d}}{t^2}}} + x = 0$$，得
$$ - {C_1}\cos t - {C_2}\sin t + {C_1}\cos t + {C_2}\sin t \equiv 0$$因此$x = {C_1}\cos t + {C_2}\sin t$是二阶微分方程
$$\frac{{{{\text{d}}^2}x}}{{{\text{d}}{t^2}}} + x = 0$$的解，又因为解中含有两个任意常数$C_1$和$C_2$，所以$x = {C_1}\cos t + {C_2}\sin t$是二阶微分方程
$$\frac{{{{\text{d}}^2}x}}{{{\text{d}}{t^2}}} + x = 0$$的通解.