与不定积分的换元法相同，定积分的换元法也是从复合函数的求导法则推导而来的.

定理 如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，函数$x=φ(t)$满足条件：

$(1)x=φ(t)$在区间$[α,β]$（或$[β,α]$）上具有连续导数，且值域$R_φ=[a,b];$

$(2)φ(α)=a，φ(β)=b$，

则

$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = \int_\alpha ^\beta {f(\varphi (t))\varphi '(t){\text{d}}t} $$

这个公式叫做换元公式.

例 求

$$\int_0^{\frac{{\pi }}{2}} {2{\text{co}}{{\text{s}}^5}x{\text{sin}}x{\text{d}}x} .$$

解 设$t = \cos x$，则${\text{d}}t = - \sin x$,

且当$x=0$时，$t=1$；当$x = \frac{{\pi }}{2}$时，$t=0$.

则

$$\int_0^{\frac{{\pi }}{2}} {2{\text{co}}{{\text{s}}^5}x{\text{sin}}x{\text{d}}x} $$ $$ = - 2\int_1^0 {{t^5}{\text{d}}t} = 2\int_0^1 {{t^5}{\text{d}}t} = 2 \times \left[ {\frac{{{t^6}}}{6}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}$$