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用定义的方法求定积分时，可能会涉及复杂的代数运算，不容易求解.本节介绍求定积分的新方法.

设运动物体的位移函数为$s(t)$，速度为$v(t)$，在时间间隔$[T_1,T_2]$内，物体的位移可以用定积分

$$\int_{{T_1}}^{{T_2}} {v(t){\text{d}}t}$$

表示，也可以用位移函数$s(t)$在区间$[T_1,T_2]$上的增量$\Delta {\text{s}} = s\left( {{T_2}} \right) - s({T_1})$来表示，即有

$$\int_{{T_1}}^{{T_2}} {v(t){\text{d}}t} = s\left( {{T_2}} \right) - s({T_1})$$

同时注意到被积函数$v(t)$是位移函数$s(t)$的一阶导数，即位移函数$s(t)$是速度函数$v(t)$的原函数：

$$\frac{{{\text{d}}s(t)}}{{{\text{d}}t}} = v(t)$$

那么，其他函数的定积分是否也可以表示为被积函数的原函数在积分区间上的增量呢？ 我们来讨论这个问题.

设函数$f(t)$在区间$[a,b]$上连续，对于区间$[a,b]$上的任意一点$x$，定积分

$$\int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

都存在，即每一个$x$，对应一个定积分

$$\int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

这就在区间$[a,b]$上定义了一个新的函数

$$\psi (x) = \int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

其中$a≤x≤b$.我们称该函数为积分上限函数.

定理 如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则积分上限函数

$$\psi (x) = \int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

在区间$[a,b]$上可导，且导数为

$$\psi '(x) = \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\left[ {\int_a^x {f(x){\text{d}}x} } \right] = f(x)(a \leqslant x \leqslant b)$$

定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数

$$\psi (x) = \int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数.

 

牛顿 - 莱布尼兹公式

定理 如果函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则

$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = F(b) - F(a)$$

上式就是牛顿 – 莱布尼兹公式.

证明:因为函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则积分上限函数

$$\psi (x) = \int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

也是$f(x)$的一个原函数，则

$$F(x) - \psi (x) = C,(a \leqslant x \leqslant b)$$

其中$C$是一个确定的常数，令$x=a$，则

$$\eqalign{ & F(a) - \psi (a) = C \cr & \psi (a) = \int_a^a {f(x){\text{d}}x} = 0 \cr}$$

所以$F(a)=C$，将$F(a)=C$代入$F(x)-ψ(x)=C$，得

$$F(x) - \psi (x) = F(a)$$

再将

$$\psi (x) = \int_a^x {f(x){\text{d}}x}$$

代入$F(x)-ψ(x)=F(a)$，得

$$F(x) - \int_a^x {f(x){\text{d}}x} = F(a)$$

即

$$\int_a^x {f(x){\text{d}}x} = F(x) - F(a)$$

当积分上限等于$b$时，得

$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = F(b) - F(a)$$

记$F(b)-F(a)$为$\left[ {F(x)} \right]_a^b$，则

$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = F(b) - F(a)$$

可以写为

$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = \left[ {F(x)} \right]_a^b$$

从时间先后来看，定义法是早期的某些数学家用于计算特殊曲边形面积的方法，牛顿 – 莱布尼兹公式是牛顿和莱布尼兹等人分别研究了求导和积分的关系后，从理论上推导出来的.