定积分是从一些具体的几何和力学问题中抽象出来的.
一、 定积分问题示例
求曲边梯形的面积
设曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续且非负，求由直线$x=a,x=b$,$y=0$及曲线$y=f(x)$围成的曲边梯形的面积.
如果把区间$[a,b]$划分为$n$个小区间，用每个小区间上某个点处的函数值$y = f({\varrho _i})$表示高，则这$n$个小矩形的面积之和近似等于曲边梯形的面积，当小矩形的个数$n$趋于无穷大时，小矩形的宽度趋于0，这时所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形的面积.即
在区间$[a,b]$上任意插入$n$个分点
$$a = {x_0} < {x_1} < {x_2} < \ldots < {x_n} = b$$从而将区间$[a,b]$分为$n$个小区间，小区间的长度依次为
$$\Delta {x_1} = {x_1} - {x_0},\Delta {x_2} = {x_2} - {x_1}, \ldots ,$$ $$\Delta {x_n} = {x_n} - {x_{n - 1}}$$在每个小区间上任意取一点${\varrho _i}(i = 1,2, \ldots ,n)$，把这$n$个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积$S$的近似值，得
$$S \approx f({\varrho _1})\Delta {x_1} + f({\varrho _2})\Delta {x_2} + ... + f({\varrho _n})\Delta {x_n} $$ $$= \mathop \sum \limits_{i = 1}^n f({\varrho _i})\Delta {x_i}$$设$\lambda = {\text{max}}\{ \Delta {x_1},\Delta {x_2}, \ldots ,\Delta {x_n}\} $，则曲边梯形的面积为
$$S = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} \mathop \sum \limits_{i = 1}^n f\left( {{\varrho _i}} \right)\Delta {x_i}$$定积分的定义
定义 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，在区间$[a,b]$上任意插入$n$个分点
$$a = {x_0} < {x_1} < {x_2} < \ldots < {x_n} = b$$把区间$[a,b]$分为$n$个小区间，每个小区间的长度依次为
$$\Delta {x_1} = {x_1} - {x_0},\Delta {x_2} = {x_2} - {x_1}, \ldots ,$$ $$\Delta {x_n} = {x_n} - {x_{n - 1}}$$在每个小区间上任意取一点${\varrho _i}(i = 1,2, \ldots ,n)$，作出和式
$$S = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n f\left( {{\varrho _i}} \right)\Delta {x_i}$$记$\lambda = {\text{max}}\{ \Delta {x_1},\Delta {x_2}, \ldots ,\Delta {x_n}\} $，则无论如何划分区间$[a,b]$，无论如何取点${\varrho _i}$，只要$λ→0$时，和$S$总是趋于某个确定的实数$L$，那么称$L$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作
$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} $$即
$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = L = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} \mathop \sum \limits_{i = 1}^n f\left( {{\varrho _i}} \right)\Delta {x_i}$$其中$f(x)$叫做被积函数，$f(x){\text{d}}x$叫做被积表达式，$x$叫做积分变量，$a$叫做积分下限，$b$叫做积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间.
定积分只与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关，因此
$$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} = \int_a^b {f(t){\text{d}}t} = \int_a^b {f(u){\text{d}}u} $$这从求曲边梯形的面积一目了然.
如果定积分$\int_a^b {f(x){\text{d}}x} $存在，则称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积.
定理 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上可积.
定理 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在区间$[a,b]$上可积.