分部积分法

利用两个函数乘积的求导法则，可以推导出另一种求积分的基本方法——分部积分法.

设函数$u=u(x)$与$v=v(x)$具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

$$(uv)'=u' v+uv'$$

移项，得

$$u' v=(uv)'-uv'.$$

对这个等式的等号两边求不定积分，得

\begin{equation} \int {u'v{\text{d}}x} = uv - \int {uv'{\text{d}}x} \end{equation}

注意，因为等号两边的函数相同，因此等号左边的函数的不定积分等于等号右边的函数的不定积分.

$(1)$式称为分部积分公式.如果求$\int {u'v{\text{d}}x} $有困难，而求$\int {vu'{\text{d}}x} $比较容易，分部积分公式就可以发挥作用.

由于

$$u'{\text{d}}x = \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}x}}{\text{d}}x = {\text{d}}u$$ $$v'{\text{d}}x = \frac{{{\text{d}}v}}{{{\text{d}}x}}{\text{d}}x = {\text{d}}v$$

因此$(1)$式可以写为：

$$\int {v{\text{d}}u} = uv - \int {u{\text{d}}v} .$$

 

例 求

$$\int {2x\cos x\text{d}x.} $$

解:设$v = 2x,{\text{d}}u = \cos x{\text{d}}x$，则${\text{d}}v = 2{\text{d}}x$,$u = \sin x$

$$\eqalign{ & \int {2x\cos x{\text{d}}x} = 2x{\text{sin}}x - \int {\sin x{\text{d}}(2x)} \cr & = 2x{\text{sin}}x - 2\int {\sin x{\text{d}}x} \cr & = 2x{\text{sin}}x - 2\cos x + C \cr} $$

做题时要合理选择$v$和${\text{d}}u$，选择不恰当会导致计算困难，不容易求出.