原函数与不定积分的概念
在第二章中，我们学习了如何求一个函数的导数，本章将学习相反的问题，即要寻求一个可导函数，它的导数等于已知函数.
定义1 如果在区间$I$上，可导函数$F(x)$的导函数为$f(x)$，即对于任一$x∈I$，都有
$$F'\left( x \right) = f\left( x \right)或{\bf{d}}F\left( x \right) = f\left( x \right){\bf{d}}x$$那么函数$F(x)$就称为$f(x)$（或$f(x)\text{d}x$）在区间$I$上的原函数.
例如，因$\left( {\sin x} \right)' = \cos x$,故$\sin x$是$\cos x$的一个原函数.
如果一个函数的导函数连续，那么该函数一定可导；如果二阶导数存在，则一阶导数连续.
原函数存在定理 如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，那么在区间$I$上存在可导函数$F(x)$，使得对任一$x∈I$都有
$$F' (x)=f(x)$$连续函数一定有原函数.
实际上，如果一个函数连续，那么将它看做某个函数的导函数，则该函数的导函数在各个点都存在.
如果$f(x)$在区间$I$上有原函数，即有一个函数$F(x)$，使对任一个$x∈ I$，都有
$$F' (x)=f(x)$$那么
$${\left[ {F\left( x \right) + C} \right]^\prime } = f\left( x \right)$$其中$C$为任一常数，也就是说，如果$f(x)$在区间$I$上连续，那么就有无限多个原函数.
我们可以用$F(x)+C$来表示：
$f(x)$的全体原函数： $\left\{ {F\left( x \right) + C| - \infty < C < + \infty } \right\}$
$f(x)$的任意一个原函数：$F(x)+C_0$ ($C_0$ 为某个确定的常数，且$-∞ < C_0 < +∞)$
定义2 在区间$I$上，函数$f(x)$的带有任意常数项的原函数称为$f(x)$（或$f(x)\text{d}x$）在区间$I$上的不定积分，记作
$$\int {f(x){\bf{d}}x} $$其中记号$\int $称为积分号，$f(x)$称为被积函数，$f(x)\text{d}x$称为被积表达式，$x$为积分变量.
记号$\int $是字母S拉伸后得到的，S是英语单词sum ( 求和，相加)的首字母，意思是所有原函数的集合.
函数$f(x)$在区间$I$上的不定积分（integral），就是函数$f(x)$在区间$I$上的所有原函数的集合.
因此，
$$\int {f(x){\bf{d}}x} = F\left( x \right) + C$$ $$(其中-∞ < C < +∞)$$例 求
$$\int {{x^5}} \text{d}x$$解：因为$(\frac{{{x^6}}}{6})' = {x^5}$，所以$\frac{{{x^6}}}{6}$是${x^5}$的一个原函数，所以
$$\int {{x^5}}\text{d}x = \frac{{{x^6}}}{6} + C.$$从不定积分的定义可知：
$$\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}x}}\left[ {{\text{ }}\int {f\left( x \right){\text{d}}x} } \right] = f\left( x \right)$$或
$${\text{d}}\left[ {\int {f\left( x \right){\text{d}}x} } \right] = f\left( x \right){\text{d}}x$$上式表明，对$f(x)$的不定积分求微分，等于$f(x)$的原函数的微分.
又由于$F(x)$是$F'(x)$的原函数，所以
$$\int {F'\left( x \right){\text{d}}x} = F\left( x \right) + C$$或记作
$$\int {{\text{d}}F\left( x \right) = \int {f(x){\text{d}}x} = F\left( x \right) + C} $$上式表明，对微分求不定积分，等于不定积分.
由此可见，微分运算（以记号${\text{d}}$表示）与求不定积分的运算（积分运算，以记号∫表示）是互逆的.当记号∫与${\text{d}}$连在一起时，或者抵消，或者抵消后相差一个常数.
求导和求不定积分是两个互逆的过程.
根据函数的商的求导法则，
$$\left[ {cf\left( x \right)} \right]' = c'f\left( x \right) + cf'\left( x \right) = cf'\left( x \right)$$ $$(c是任意常数)$$得到
$$cf'\left( x \right) = \left[ {cf\left( x \right)} \right]{'}$$因为
$$\left[ {{x^\mu }} \right]{'} = \mu {x^{\mu - 1}}$$ $${x^{\mu - 1}} = \frac{{\left[ {{x^\mu }} \right]{'}}}{\mu } = [\frac{{{x^\mu }}}{\mu }]{'}$$基本积分表
\begin{equation} \int {k{\text{d}}x} = kx + C,(k是常数) \end{equation} \begin{equation} \int {{x^\mu }{\text{d}}x} = \frac{{{x^{\mu + 1}}}}{{\mu + 1}} + C\left( {\mu \ne - 1} \right) \end{equation} \begin{equation} \int {\frac{1}{x}{\text{d}}x} = \ln \left| x \right| + C \end{equation} \begin{equation} \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{d}}x} = \arctan x + C \end{equation} \begin{equation} \int {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{d}}x} = \arcsin x + C \end{equation} \begin{equation} \int {\cos x{\text{d}}x} = \sin x + C \end{equation} \begin{equation} \int {\sin x{\text{d}}x} = - \cos x + C \end{equation} \begin{equation} \mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\text{d}}x = \int {{\text{se}}{{\text{c}}^2}x{\text{d}}x} = \tan x + C \end{equation} \begin{equation} \begin{gathered} \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}{\text{d}}x} = \int {{\text{cs}}{{\text{c}}^2}x{\text{d}}x} \hfill \\ = - \cot x + C \hfill \\ \end{gathered} \end{equation} \begin{equation} \int {\sec x\tan x{\text{d}}x} = \sec x + C \end{equation} \begin{equation} \int {\csc x\cot x{\text{d}}x} = - \csc x + C \end{equation} \begin{equation} \int {{{\text{e}}^x}{\text{d}}x} = {{\text{e}}^x} + C \end{equation} \begin{equation} \int {{a^x}{\text{d}}x} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \end{equation}