极限的概念来源于客观实际，比较普遍的一个例子是用内接正多边形求圆的面积.之所以用内接正多边形求圆的面积，是因为圆是曲边形，不能直接应用已知面积公式的正方形，长方形，三角形等的面积公式直接求解.
一个确定了半径$R$的圆，其大小是确定的，面积是一个实数，设为$S = \pi {R^2}$.
作圆的内接正六边形，其面积为${S_6}$，显然${S_6} < S$.
作圆的内接正十二边形，其面积为${S_{12}}$，有${S_6} < {S_{12}} < S$.
随着正多边形边数的增加，内接正多边形的面积${S_n}$越来越大，越来越接近$S$，如果用${S_n}$代替圆的面积$S$，则误差$\delta = |{S_n} - S|$将随着$n$的增加而减小，但是当$n$确定了，其面积${S_n}$就小于圆的面积$S$，即${S_n} < S$，显然，只有$n$取正无穷大（记为$ + \infty $）时，圆的内接正$n$边形的面积才等于圆的面积.用极限表达式表达为
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = S$$在教科书中，我们将上式读作：当自变量$n$趋于正无穷大时，${S_n}$的极限等于$S$.注意“趋于”这两个字，在上面的表达式中，只有$n$取正无穷大，${S_n}$才等于$S$，即上式极限的意思是$n = + \infty $时， ${S_n} = S$，即
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = S \Leftrightarrow n = + \infty 时,{S_n} = S.$$但是有一个麻烦，因为不存在最大的实数，所以无法让$n = + \infty $成立，这种情况，在一般函数中，就是
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$$即$x$趋于${x_0}$时，函数$f(x)$的极限等于$A$，对于这个极限表达式，我们可能也有种种原因，导致$x$只能无限接近${x_0}$却不能等于${x_0}$，但是，$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$的含义，依然是，当$x = {x_0}$时，$f(x) = A$，即$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$等价于$f({x_0}) = A$ .
所以，对于极限表达式$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$，我们应该明白两点：
1. 只有$x = {x_0}$时，$f(x) = A$，即$f({x_0}) = A$；
2. 出于种种原因，我们无法使$x = {x_0}$.
很显然，在圆面积的例子中，如果我们能取正无穷大，直接用公式就能计算出圆的面积的精确值，而不是得到一个无限不循环的圆面积的近似值$S = \pi {R^2}$.
正是因为自变量$n \ne + \infty $或$x \ne {x_0}$，使得我们在定义极限时，需要用去心邻域.
很多人误以为$x \ne {x_0}$，使得用极限定义求出来的极限$A$不是$x = {x_0}$时需要的精确值.我们来看下面的式子：
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$$首先一点，$x \ne {x_0}$，否则表达式分母为零，不能成立.所以有人会说，$A$不是$x = {x_0}$时$\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$的精确值.这个问题问的非常好，很有逻辑性，任何一个学极限的人，都应该问这个问题.让我们再来回忆一下圆面积的例子中的极限表达式
$$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = S$$在这个例子中，我们说，$n = + \infty $时，${S_n} = S$，同样地，对于表达式$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$，也是$x = {x_0}$时，$\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$，所以，我们用这个极限表达式$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$的目的，是说当$x = {x_0}$成立时，才有$\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$，你要用它的极限$A$，就必须是$x = {x_0}$，但是当$x = {x_0}$时，分母为零了，怎么办？这个问题的解决，涉及到如何求出$A$，实际上我们在求$A$的过程中，可以化解这个问题，请看例子：
设$y = f(x) = {x^2} + 5$，求$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.$$
解
$$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 5 - ({x_0}^2 + 5)}}{{x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + 5 - {x_0}^2 - 5}}{{x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} - {x_0}^2}}{{x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x + {x_0})(x - {x_0})}}{{x - {x_0}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0} \cr} $$在圆面积的例子中，$n \ne + \infty $，但是在其他例子中，比如$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0})$中，$x = {x_0}$时$x + {x_0}$依然成立，因此有$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (x + {x_0}) = 2{x_0}$，这是函数连续性的定义，实际上我们只要知道，现实中要求$n \ne + \infty $或$x \ne {x_0}$，都是因为要么无法取值($n \ne + \infty $)，要么取值后数学表达式不能成立（$x = {x_0},\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$不成立），数学式子的不成立，也有客观物理意义的，比如分母为零后速度的概念就不存在了.
注意这个比较：
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$$ $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = 2{x_0}$$虽然$x \ne {x_0}$，但是$A = 2{x_0}$却是使$x = {x_0}$时得到的，这与前面说到的$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$表示$x = {x_0}$时，$\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = A$相一致.
假如上式是求位移函数$f(x)$在$x = {x_0}$的瞬时速度，则$x \ne {x_0}$使得我们的定义式有意义，包括求平均速度时保证了时间间隔不为0，从而速度的概念得以成立，以及使表达式的分母不为零，从而数学表达式也成立.
其次，最终求出来的$A = 2{x_0}$却是$x = {x_0}$时我们需要的那个值，这相当于当$n = + \infty $时，我们求出了圆的面积$S$.
总结：
任何一个极限表达式$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A$，其基本含义是指：
1. $A$是$x = {x_0}$时$f(x)$的值，即$f({x_0}) = A$;
2. 由于客观实际或数学表达式要成立的原因，$x$不能等于${x_0}$，即$x \ne {x_0}$.
$x \ne {x_0}$是客观实际或数学表达式成立所要求的，而$A$的求得，却只能是$x = {x_0}$才行.
证明极限的例子
在求圆面积的例子中，证明$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = S$.
这是要证明$n$趋于正无穷大时，${S_n} = S$，实际上${S_n} = S$的必要条件是$n$等于正无穷大，因此趋于就是等于.由于不存在最大的数，$n$无法取正无穷大，因此不能直接代入，验证${S_{ + \infty }} = S$，我们有一个办法，即存在一个事实，$n$越大，${S_n}$与$S$的误差$\delta = |{S_n} - S|$会越小，也就是说，如果$S$是$n$越来越大时${S_n}$的极限、${S_n}$最终要到达的那个数，那么${S_n}$与$S$的误差$\delta = |{S_n} - S|$可以要多小有多小，即任何你给定的多么小的误差$\delta $，${S_n}$与$S$的误差都可以比它小，$\forall \delta $，都有$|{S_n} - S| < \delta $，由于误差是正数，因此把$\forall \delta $改为$\forall \delta > 0$，即$\forall \delta > 0$，都有$|{S_n} - S| < \delta $，通过给定的$\delta $和表达式$|{S_n} - S| < \delta $，可以找到（计算出）一个$N$，当$n > N$时，$|{S_n} - S| < \delta $成立，即$\forall \delta > 0,\exists N,$当$n > N$时，$|{S_n} - S| < \delta $成立.
对于一般函数$f(x)$在$x = {x_0}$处的极限，用数学表达式表示为
$$\forall \delta > 0,\exists \varepsilon > 0,当0 < |x - {x_0}| < \varepsilon 时,$$ $$|f(x) - A| < \delta 成立.$$